初中代数知识点总整理 （2）.pdf

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初中代数知识整理简化版
一、实数
1、实数概念
正整数


整数零

有理数负整数有限小数或无限循环小数

22
①实数正分数
分数7

负分数

正无理数

无理数无限不循环小数、2、
负无理数
正实数a0

①实数零a0(没有最大实数、也没最小实数)
负实数a0

2、性质(哪个数的××等于他本身)8种
1
①倒数ab1a0
a
a
②相反数aab01(a0)
b
aa0

③绝对值a≥0到原点的距离a0a0它本身(或相反数)
aa0

④平方a2≥0
3
⑤立方a三句话
⑥平方根a三句话
⑦算术平方根a0(a0)
⑧立方根3a三句话
3、数轴
①三要素原点、正方向、单位长度
一一对应
②实数数轴上的点
③如何读数轴大小绝对值大小
④两点间距离ABxAxB:.
4、比较大小
①正数>0>负数
②两个正数,绝对值大就大
③两个负数,绝对值大的反而小
④无理数一般采用平方法
5、近似数
n
①科学记数法把一个数记成a10的形式,其中1≤a<10,n为整数
②有效数字
③精确到×位
6、计算法则
计算法则备注个人注意点
加法①同号①相反数
绝对值大小②分数则同分母
③小数、整数则同号
①异号定符号
④分数、小数则尽可能把分数化为小数
定绝对值
减法连加减化为代数式的和(插入①、②
间)
乘法①定符号①0
②绝对值相乘②定符号
③倒数
④凑整例如:4×25=100、8×125=1000
⑤分数和小数相乘,尽可能把小数化成分数
除法倒数连乘除化为乘法(插入②、③间)
乘方222
333
、、
555
混合运算顺序括号、乘方、乘除、加减后面步骤计算不需前面步骤结果时,可同时计算
7、计算步骤(计算步骤的清晰性、计算结果的预见性)
①看运算符、括号、几段
②想法则、简便计算(连加减\连乘除\乘法分配律、乘法公式顺逆使用)、个人注意
点
③定定顺序、分段定符号、定绝对值
④查做一步查一步
运算连加减连乘除
思①几个数的和(无括号形式)①0
考②相反数②定符号
顺③整数、小数取同号③化乘为除
序④分数先取同分母④倒数:.
⑤分数、小数相加,尽可能把分数化成小数⑤凑整(4*25=100、8*125=1000)
⑥分数连加减,通分时可不一步到位⑥分数与小数相乘,尽可能把小数化成分数:.
二、整式
1、整式定义
单项式:系数、次数
整式(注意书写规范)
多项式:几次几项式\代数式的和
2、计算
运算注意点
am·an=am+n(am)namn
幂的运算nnnmnmn
ababaaa
0n1
a=1(a≠0);an(a≠0)
a
①去括号括号括号前面是“-”号注意变号
②合并同类项:把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字
加减法
母的指数保持不变.
①单项式×单项式a符号b数字c字母
②单项式×多项式m(abc)mambmc
③多项式×多项式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
乘法④乘法公式:
平方差公式:ababa2b2;
222
完全平方公式:ab=a2abb
步骤
①提提公因式法
22
两项ab(ab)(ab)
因式分解②看222
三项a2abb(ab)
③查能否在分解(①提②看)
3、代数式求值
①找(代数式、未知数的值)
②化(化简代数式、化简未知数值)
③代(遇什么换什么)
④算
注意整体思想
4、应用
①找规律用代数式表示
②用数量关系进行顺逆推理
③代数思想,设而不求:.
三、分式
1、分式定义
A
B=0时,分式无意义;B≠0时,分式有意义
B
分式值为零:A=0且B≠0
2、分式基本性质

基本性质1)=(B≠0,M是不等于0的整式)

AAM
2)=(B≠0,M是不等于0的整式)
BBM
aaa
符号
bbb
3、乘除(本质是约分)
acac

bdbd
acadad
①法则
bdbcbc
nn
aa
n
bb
②步骤
a定符号
b约分→积的形式→因式分解→化去相同因式(顺序是数字、单个字母、多项式)→最
简分式
c划数、字母、多项式
4、加减法
bcbc
①同分母分式的加减:±=
aaa
bdbcad
②异分母分式的加减:±=;
acac
步骤
因式分解

积

最简公分母

①同分母通分异分母
②分子相加减
③约分
5、混合运算(计算步骤的清晰性、计算结果的预见性):.
①看运算符、括号、几段
②想法则、简便计算(连加减、连乘除、乘法分配律、乘法公式顺逆使用)、个人注意
点
③定定顺序、分段定符号、定绝对值
④查做一步查一步:.
四、二次根式
1、定义a(a0)
2、性质
2
(a)a(a0)
2
a|a|;
a0(a0)(联想到a0、a20)
3、乘除
aa
①法则ababa0,b0;(a0,b0);
bb
②步骤a定符号
b内乘内,外乘外
c化简(不等于分式的约分,目标是最简二次根式)
4、加减
步骤
①化为最简二次根式
②合并同类二次根式
5混合运算(计算步骤的清晰性、计算结果的预见性)
①看运算符、括号、几段
②想法则、简便计算(连加减、连乘除、乘法分配律、乘法公式顺逆使用)、个人注意
点
③定定顺序、分段定符号、定绝对值
④查做一步查一步:.
五、一元一次方程
1、定义axb0(a0)
2、关于解的情axb0况
ao必有一解
b0无数个解
解
a0
b0无解

3、解法
序号步骤注意点
1去分母最小公倍数、漏乘
2去括号变号
3移项变号尽量使未知数的系数为正
4合并同类项
5系数化为1除以未知数的系数
依据:等式性质
本质:方程简化
4、应用
①审找题中基本数量关系,用适当名称给数量关系分类
②设不好想时就设,问什么设什么
③列纵向寻找同类数量关系列方程,以用过的数量关系不可以列方程
④解
⑤答:.
六、二元一次方程(组)
1、定义axbyc(ab0)
2、二元一次方程的解
①无条件解是无数组
②有条件解一般是有限个。例如:正整数解,考虑整除通常与不等式知识相结合
3、二元一次方程组的解法
①代入消元法:有一项系数为“1”
②加减消元法:系数有倍的关系
★注意点:观察系数,选择方法
4、应用
①审找题中基本数量关系,用适当名称给数量关系分类
②设不好想时就设,问什么设什么
③列纵向寻找同类数量关系列方程,以用过的数量关系不可以列方程
④解
⑤答隐含条件的挖掘:.
七、一元一次不等式(组)
1、不等式性质:与等式性质作比较
①如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c;
②如果a>b,且c>0,那么ac>bc;
③如果a>b,且c<0,那么ac<bc.
2、解法步骤
序号步骤注意点
1去分母最小公倍数、漏乘
2去括号变号
3移项变号尽量使未知数的系数为正、变号
4合并同类项尽可能与移项同时进行
5系数化为1①除以未知数的系数(乘以倒数)
②注意系数为负时改变不等号方向
3、一元一次不等式组
①分别解一元一次不等式
同大取大

①画解集同小取小
用口诀
①取解集的公共部分大小小大取中间
大大小小是无解

4、数学内应用
找不等式模型(关键字词)
问题的转化
5、实际应用题
①审
等量关系
②设数量关系
不等关系
③列
④解
⑤答 注意隐含条件:.
八、一元二次方程
1、定义:一般式:ax2+bx+c=0(a≠0)
2、解法:
①直接开平方法。(px+q)2=r(p≠0r≥0)
②因式分解法
③配方法
④公式法:先把一元二次方程化成一般式:ax2+bx+c=0(a≠0),在b2-4ac≥0时公式是x=
2
bb4ac2
(b-4ac≥0)
2a
*思想:降次
3、根:
①定义
b24ac0两个不相等的实数根
2
②根的判别式b4ac0两个相等的实数根
b24ac0没有实数根

4、应用
①审找题中基本数量关系,用适当名称给数量关系分类
②设不好想时就设,问什么设什么
③列纵向寻找同类数量关系列方程,以用过的数量关系不可以列方程
④解
⑤验看根是否满足题意
⑥答:.
九、分式方程
1、解法
①在分式方程的两边同乘以最简公分母,化去分母,化成整式方程;
②解这个整式方程;
③验根。在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根。
2、增根
使整式方程成立而分式方程无意义的未知数的值
3、应用
①审找题中基本数量关系,用适当名称给数量关系分类
②设不好想时就设,问什么设什么
③列纵向寻找同类数量关系列方程,以用过的数量关系不可以列方程
④解
⑤验看根是否满足题意
⑥答:.
十、平面直角坐标系
:
名称坐标特点
第一象限(+,+)
第二象限(-,+)
        第二象限(-,-)
第四象限(+,-)
x轴(x,0)
y轴(0,y)
原点(0,0)
2、距离
y
①点p(x,y)到x轴的距离是y;A(c,d)
P(a,b)
②点p(x,y)到y轴的距离是x;
③水平距离、铅直距离、到原点的距离o
x
22
如图,OP=ab,AB=|d-e|,MN=|m-q|。B(c,e)
3、对称M(m,n)N(q,n)
①点p(a,b)到x轴的对称点是p1(a,-b);
②点p(a,b)到y轴的对称点是p2(-a,b);
③点p(a,b)关于原点的对称点是p3(-a,-b);
④关于x轴平行线对称距离相等
⑤关于y轴平行线对称距离相等
xAxByAyB
⑥关于任意点对称中点AB中点C(,)
22
(a,bm)

向左平移n向右平移n
4、平移(an,b)(a,b)(an,b)

(a,bm)
5、点坐标求法
x、y轴交点

①、解析式法知x(y)求y(x)
两图象交点

解直角三角形

①、线段法(结合平移)相似三角形
等积变换
:.
x轴、x轴平行线

y轴、y轴平行线

①、对称法原点中心对称

xAxByAyB
中点AB中点C(,)
22:.
十一、一次函数
ykxb(k0)

1、表示法不平行于x、y轴的直线
x每增加(减少)y就增加(减少)

2、性质
①k>0图象经过一、三象限,y随X的增大而增大
K<0图象经过二、四象限,y随X的增大而减小
②b>0时,一次函数y=kx+b与y轴交于正半轴,图象经过一、二象限
b=0时,一次函数y=kx+b与y轴交于原点,这时y是x的正比例函数
b<0时,一次函数y=kx+b与y轴交于负半轴图象经过三、四象限
b
③交点与x轴(,0)与y轴(0,b)
k
增减性

①k直线方向象限
平行(k相等)

象限
①b
与y轴交点(0,b)
3、点坐标求法
x、y轴交点

①、解析式法知x(y)求y(x)
两图象交点

勾股定理
①、线段法(结合平移)
等积变换
x轴、x轴平行线

y轴、y轴平行线

3、①、对称法原点中心对称

xAxByAyB
中点AB中点C(,)
22
4、求解析式
每的问题

①数量关系列剩余油量问题
小鱼问题

②待定系数法
a设:根据条件,抓住特征设好解析式
b列:列方程或方程组:.
c解:解方程或方程组
d代:代入所设解析式中
③由k、b实际意义去求[x每增加(减少)y就增加(减少)]
④平移
ykxbm

yk(xn)b向左平移nykxb向右平移nyk(xn)b

ykxbm
⑤对称法
⑥由二元一次方程变
5、面积
①画图
②面积公式
③找底和高(水平方向或竖直方向,找不到用分割法)
④点坐标(不好求是就设)
6、应用题应用
待定系数法

1、解析式k、b的含义
数量关系列
每就
2、确定变量的含义
3、图象横轴、纵轴的含义
4、单位
5、自变量的取值范围:.
十二、反比例函数
k11
1、定义:①ykxk(k0)
xx
②Xy=k
③双曲线
2、反比例函数的性质
①图象:双曲线
②k的性质:当k>0时,第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小。
当k<0时,第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大。
不同象限,根据图象解决
③与x、y轴的关系无限接近,永不相交
④中心对称、轴对称
3、点坐标求法
知x(y)求y(x)
①、解析式法
两图象交点
解直角三角形

①、线段法(结合平移)相似三角形
等积变换

x轴、x轴平行线

y轴、y轴平行线

①、对称法原点中心对称

xAxByAyB
中点AB中点C(,)
22
4、求解析式
①待定系数法
②数量关系列
③平移
④K的意义(总量)
⑤面积k=xy
5、面积:
①画图
②面积公式
用x、y轴为底或高
③找底和高找不到用割补法
用平行于x、y轴的线为底或高
解析法
线段法
④点坐标(不好求是就设)
对称法
:.
⑤书写面积关系、计算公式、代入数据进行计算
⑥反比例函数中特殊面积关系的转换xy=k
⑦注意多解
6、应用题应用
1、解析式
2、确定变量的含义
3、图象横轴、纵轴的含义
4、单位
5、自变量的取值范围(隐含条件的挖掘):.
十三、二次函数
1、二次函数的定义:y=ax2+bx+c(a≠0)
2、二次函数的性质
①图象是抛物线
②a的性质:a>0时,抛物线的开口向上,顶点是它的最低点;
a<0时,抛物线的开口向下,顶点是它的最高点;
a决定抛物线的开口方向和开口大小。
a越大,开口越贴近y轴
b
③抛物线的对称轴:直线x=
2a
b4acb2
④顶点坐标:(,)
2a4a
2
b4acb
⑤最值:,如果a>0,那么当x=时,y最小值=;
2a4a
2
b4acb
如果a<0,那么当x=时,y最大值=;
2a4a
b
xy随x增大而增大
a02a
b
xy随x增大而减小
2a
⑥增减性
b
xy随x增大而减小
a02a
b
xy随x增大而增大
2a

⑦与y轴交点c>0图像与y轴交点在x轴的上方;
c=0图像过原点;
c<0图像与x轴交点在x轴的下方
⑧与x轴交点△>0抛物线与x轴有两个不同交点;
△=0抛物线与x轴有惟一公共点(相切);
△<0抛物线与x轴有无公共点。
⑨b的符号a、b同号对称轴在y轴左侧;
b=0对称轴是y轴;
a、b异号对称轴在y轴右侧。
⑩对称点y相等
abc
abc
⑾的来源
2ab
2ab:.
⑿平移
2
ya(xh)km

2向左平移n2向右平移n2
ya(xhn)kya(xh)kya(xhn)k

2
ya(xh)km
yax2左右平移h个单位ya(xh)2

yax2k左右平移h个单位ya(xh)2k
*本质;画出图象
3、待定系数法
y=ax2+bx+c任意三点
2
yax顶点是原点
22
ya(xh)kyaxk顶点在y轴
2
ya(xh)顶点在x轴
4、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数,a≠0),当y=0时,即对应一元二次方
程ax2+bx+c=0(a≠0),也就是说,二次函数y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数,a≠0)的
图像与x轴的交点的横坐标x的值就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根。
①当△=b2-4ac>0时,由于一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,所
以抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点。
②当△=b2-4ac=0时,由于一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,所以
抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一交点,即抛物线的顶点;
③当△=b2-4ac<0时,由于一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,所以抛物线
y=ax2+bx+c与x轴没有交点。
5、应用
找关键点
待定系数法(有坐标系)
抓函数图象特征

1、解析式代数类应用题(数量关系)

数量关系列(无坐标系)线段关系(相似三角形)
几何类应用题

求面积

2、变量的含义
3、函数性质的运用(最值、增减性)
4、注意自变量的取值范围:.
十四、锐角三角函数
1、定义:
∠A的正弦:sinA=,
∠A的余弦:cosA=,
∠A的正切:tanA=,
2、性质.
sin(900-A)=cosA,
cos(900-A)=sinA
tanAtan(900A)1
3、特殊三角函数值
三角函角α
数值300450600
三角函数
123
sin
222
321
cos
222
3
tan13
3
4、解直角三角形
①知识:勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数
②基本图形(3种)
5、应用
①找基本图形
②标数据
③不好标时就设,设好再标
④找数量关系列方程
⑤俯角、仰角、坡角、坡度