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6方差分析
第二十二讲方差分析
重点:单因素方差分析
方差分析是数理统计的基本方法之一,是分析数据的一种重要工具,在生产实践中,用不同的生产方法生产同一种产品,比较各种生产方法对产品的影响是经常遇到的问题,方差分析正是鉴别各因素效应的一种有效的统计方法,。一、单因素方差分析
我们把试验中要考察的那些可以控制的条件称为试验的因素。为了考察一个因素对试验的影响,一般将它严格控制在几个不同的状态上,每个状态称为它的一个水平。如果一次试验中只有一个因素在改变,而其它因素保持不变,则称它为单因素试验。
一般设因素A有r个水平A1,A2, ,Ar,在水平Ai下进行了ni次试验得样本
Xi1,Xi2, ,Xinii=1,2, ,r,不同水平的样本相互独立,将假设及有关符号列表如下
其中σ未知,欲判定因素各水平间是否有显著差异,也就是要检验各正态总体的均值是否相等,即要检验假设
2
H0A:μ1=μ2= =μr H1A:μ1,μ2, ,μr不全相等,
1r
若记εij=Xij-μi ,n=∑ni,μ=∑niμi,ai=μi-μ则数学模型为
ni=1i=1
r
?Xij=μ+ai+εij?r?niai=0∑??i=1j=1,2, ,ni;i=1,2, ,rεij~N(0,σ2),各εij相互独立
H0A:a1=a2= =ar=0,H1A:a1,a2, ,ar不全为0

(1)假设检验
为了建立检验统计量,我们先介绍下述平方和分解式: rni1rni
令X=∑∑Xij ,ST=∑∑(Xij-X)2, X为所有样本总平均,ST为总平方和 ni=1j=1i=1j=1
1定理1(平方和分解定理)令Xi=ni∑Xj=1
rniij为水平Ai下的样本均值,i=1,2, ,r则 r
ST=∑∑(Xij-Xi)+∑ni(Xi-X)2 2
i=1j=1
rnii=1
令Se=∑∑(X
i=1J=1rnIij-Xi),SA=∑ni(Xi-X)2,则ST=Se+SA,Se只与试验误差有关,称为误差平2i=1
方和;而SA既与各水平下效应有关,又与试验误差有关,称为因素效应平方和。下面讨论两平方和Se与SA的一些统计特性
~χ(n-r),E(Se)=(n-r)σ;E(SA)=(r-1)σ+∑niai2;当
H0A成立时,A~2σσi=1
χ2(r-1),且Se与SA独立
由于SeSA22~,当成立时,~Hχ(r-1),且Se与SA独立,故当H0A成立时,χ(n-r)0A22σσ
F=SSSA/(r-1)2~F(r-1,n-r),分母e分布与H0A无关,其数学期望为σ,而分子A的数学期望n-rr-1Se/(n-r)
SA1r2E()=σ+niai2,当H1A成立时分子的取值有偏大的趋势,因此在显著性水平α下,检验假设的∑r-1r-1i=1
拒绝域为
F=
把上述结果列表,得方差分析表
SA/(r-1)≥Fα(r-1,n-r) Se/(n-r)
e
方差分析表
若F≥(r-1,n-r),则称水平A高度显