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重点:单因素方差分析
方差分析是数理统计的基本方法之一,是分析数据的一种重要工具,在生产实践中,用不同的
生产方法生产同一种产品,比较各种生产方法对产品的影响是经常遇到的问题,方差分析正是鉴别
各因素效应的一种有效的统计方法,
到农业试验上去的。
一、单因素方差分析
我们把试验中要考察的那些可以控制的条件称为试验的因素。为了考察一个因素对试验的影响,一般将它严
格控制在几个不同的状态上,每个状态称为它的一个水平。如果一次试验中只有一个因素在改变,而其它因素保
持不变,则称它为单因素试验。

一般设因素A有r个水平A,A,,A,在水平A下进行了n次试验得样本
12rii
X,X,,Xi1,2,,r,不同水平的样本相互独立,将假设及有关符号列表如下
i1i2in
i
水平
AAA……A
123r
样本
XXXX
112131……r1
……
XXXX
122232r2
……
XXXX
1n2n3nrn
123……r
样本和……
XXXX
1•2•3•r•
样本均值……
XXXX
123r
总体……
XXXX
123r
总体分布……
N(,2)N(,2)N(,2)N(,2)
123r
其中2未知,欲判定因素各水平间是否有显著差异,也就是要检验各正态总体的均值是否相等,即要检验假设
H:H:,,,不全相等,
0A12r1A12r
r1r
若记X,nn,n,a则数学模型为
ijijiiniiii
i1i1
Xaj1,2,,n;i1,2,,r
ijiiji
r
na0~N(0,2),各相互独立
iiijij
i1
H:aaa0,H:a,a,,a不全为0
0A12r1A12r

(1)假设检验
为了建立检验统计量,我们先介绍下述平方和分解式:
nn
1riri
令XX,S(XX)2,X为所有样本总平均,S为总平方和
nijTijT
i1j1i1j1
1n
定理1(平方和分解定理)令XiX为水平A下的样本均值,i1,2,,r则
iniji
ij1
n
rir
S(XX)2n(XX)2
Tijiii
i1j1i1
n
rIr
令S(XX)2,Sn(XX)2,则SSS,S只与试验误差有关,称为误差平
eijiAiiTeAe
i1J1i1
方和;而S既与各水平下效应有关,又与试验误差有关,称为因素效应平方和。
A
下面讨论两平方和S与S的一些统计特性
eA
SS
2r
~(nr),E(S)(nr)2;E(S)(r1)2na2;当H成立时,A~
2eAii0A2
i1
2(r1),且S与S独立
eA
SS
由于e~2(nr),当H成立时,A~2(r1),且S与S独立,故当H成立时,
20A2eA0A
S/(r1)SS
FA~F(r1,nr),分母e分布与H无关,其数学期望为2,而分子A的数学期望
S/(nr)nr0Ar1
e
S1r
E(A)2na2,当H成立时分子的取值有偏大的趋势,因此在显著性水平下,检验假设的
r1r1ii1A
i1
拒绝域为
S/(r1)
FAF(r1,nr)
S/(nr)
e
把上述结果列表,得方差分析表
方差分析表
方差来源平方和自由度均方和F
因素ASr1
ASS/(r1)S
AAFA
S
e
误差enr
SSS/(nr)
eee
总和Sn1
T
若FF(r1,nr),则称水平A高度显著,用**表示;

若F(r1,nr)FF(r1,nr),则称水平A显著,用*表示;

若F(r1,nr)FF(r1,nr),则称水平A一般显著,用(*)表示;

若FF(r1,nr),则称水平A不显著。

(2)参数估计
n
S1ri
定理:ˆ2e为2的无偏估计,ˆXX为的无偏估计。
nrnij
i1j1
1nr
当H成立时,XiX为的无偏估计,aˆXX为a的无偏估计,且naˆ0,使ˆ达
1Aiinijiiiiiii
ij1i1
到最优的水平为最优水平,当H成立时,一切a0不需估计。选费用低,易实施的水平为最佳水平。
0Ai
SS
定理:2的置信度为1的置信区间为(e,e),当H成立时的1置信区间
2(nr)2(nr)1Ai
/21/2
S
为(XeF(1,nr),aa的1置信区间为
i(nr)nkeke
i
S11
((XX)t(nr)e())
ke/2nrnn
ke

例:某灯泡厂用四种不同材料的灯丝生产了4批灯泡,每批灯泡的寿命服从正态分布且方差相等,在每批灯泡中
随机抽取若干只,观测其使用寿命(单位:h),观测数据如下表
甲乙丙丁
11600158014601510
21610164015501520
31650164016001530
41680170016201570
51700175016401600
6172016601680
718001740
81820
问这4批灯泡的使用寿命有无显著差异?
解:经计算得方差分析表
方差来源平方和自由度均方和F



查表得F(3,22),故这4批灯泡的使用寿命无显著差异。

二、双因素方差分析

(1)数学模型
设因素A有r个水平A,A,,A,因素B有s个水平B,B,,B,数量指标在水平组合AB下的值的
12r12sij
全体构成的总体为X~N(,2),i1,2,r;j1,2,s,在水平组合AB下进行t次重复独立试验得来
ijijij
自总体X的样本X,k1,2,.t(t2),i1,2,r;j1,2,s,设各样本相互独立
ijijk
BB…B
12s
AX,X,,XX,X,,X…X,X,,X
111111211t12112212t1s11s21st
AX,X,,XX,X,,X…X,X,,X
221121221t22122222t2s12s22st
……………………
AX,X,,XX,X,,X…X,X,,X
rr11r12r1tr21r22r2trs1rs2rst
1rs1s1r
记,,
rsiji•sij•jrij
i1j1j1i1
a,b,(ab)ab
iijjijijij
数学模型为

Xab(ab)
ijkijijijk
服从N(0,2),各独立
ijkijk
rsrs
a0,b0,(ab)0,(ab)0
ijijij
i1j1i1j1
为确定因素A、B是否显著及A、B之间是否有交互作用,常检验下面三个假设
H:aaa0H:a,a,,a不全为0
0A12r1A12r
H:bbb0H:b,b,,b不全为0
0B12s1B12s
H:(ab)0H:(ab)不全为0i1,2,,r;j1,2,,s
0ABij1ABij
(2)方差分析
1rst
令XX——所有样本均值
rstijk
i1j1k1
1t
XX——水平组合AB下样本均值
ijtijkij
k1
1st
XX——水平A下样本均值
istijki
j1k1
1rt
XX——水平B下样本均值
jrtijkj
i1k1
rst
则有分解式S(XX)2SSSS
TijkeABAB
i1j1k1
这里
rst
S(XX)2——误差平方和
eijkij
i1j1k1
r
Sst(XX)2——因素A效应平方和
Ai
i1
s
Srt(XX)2——因素B效应平方和
Bj
j1
rs
St(XXXX)2——因素A与B交互效应平方和
ABijij
i1j1
各平方和的自由度如下
S的自由度frst1;S的自由度frs(t1)
TTee
S的自由度fr1;S的自由度fs1
AABB
S的自由度f(r1)(s1)
ABAB
SSSS
若记SeSASBSAB
ers(t1)Ar1Bs1AB(r1)(s1)
S
当H为真时,FA~F(r1,rs(t1))
0AAS
e
S
当H为真时,FB~F(s1,rs(t1))
0BBS
e
S
当H为真时,FAB~F((r1)(s1),rs(t1))
0ABABS
e
由此得,在显著性水平下,
S
H拒绝域为FA≥F(r1,rs(t1)),
0AAS
e
S
H拒绝域为FB≥F(s1,rs(t1))
0BBS
e
S
H拒绝域为FAB≥F((r1)(s1),rs(t1))
0ABABS
e
双因素方差分析表(考虑交互作用)
方差来源平方和S自由度f均方和SF
因素Ar-1
SSS
ASAFA
Ar1AS
e
因素Bs-1
SSS
BSBFB
Bs1BS
e
交互作用AB(r-1)(s-1)
SSS
ABSABFAB
AB(r1)(s1)ABS
e
误差rs(t-1)
SS
eSe
ers(t1)
总和rst-1
S
T

(1)数学模型
因素A有r个水平A,A,,A,因素B有s个水平B,B,,B,因素A、B同时作用于数量指标,且两
12r12s
因素间不存在交互作用,数量指标在水平组合AB下的值的全体构成的总体为X~N(,2),
ijijij
i1,2,r;j1,2,s,在水平组合AB下做一次试验得样本X,i1,2,r;j1,2,s,且各X相互
ijijij
独立

Xab
ijiji
服从N(0,2),各独立
ijij
rs
a0,b0,
ij
i1j1
需检验假设
H:aaa0H:a,a,,a不全为0
0A12r1A12r
H:bbb0H:b,b,,b不全为0
0B12s1B12s
(2)方差分析
1rs1s1r
令XXXXXX
rsijisijjrij
i1j1j1i1
rs
则有分解式S(XX)2SSS
TijeAB
i1j1
rsrs
这里S(XXXX)2,Ss(XX)2,Sr(XX)2
eijijAiBj
i1j1i1j1
SSS
若记SASBSe
Ar1Bs1e(r1)(s1)
S
当H为真时,FA~F(r1,(r1)(s1))
0AAS
e
S
当H为真时,FB~F(s1,(r1)(s1))
0BBS
e
由此得,在显著性水平下,
S
H拒绝域为FA≥F(r1,(r1)(s1)),
0AAS
e
S
H拒绝域为FB≥F(s1,(r1)(s1))
0BBS
e
双因素方差分析表(无交互作用)
方差来源平方和S自由度f均方和SF
因素Ar-1
SSS
ASAFA
Ar1AS
e
因素Bs-1
SSS
BSBFB
Bs1BS
e
误差(r-1)(s-1)
SS
eSe
e(r1)(s1)
总和rs-1
S
T