直线和椭圆交点问题.docx

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线和椭圆的交点问题
,求实数m的取值范围。
解法一:由可得,
∴即∴且
解法二:直线恒过一定点(0,1)当时,椭圆焦点在轴上,短半轴长,要使直线与椭
圆恒有交点,则即
当时,椭圆焦点在轴上,长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点,即综
述:且
解法三:直线恒过一定点(0,1)要使直线与椭圆恒有交点,即要保证定点(0,1)在椭圆内部,
即∴且
二、直线截椭圆所得弦长问题
,直线交椭圆于AB,求AB的长.
解法一:设A、B两点坐标分别为和
将直线方程代入椭圆方程
得对于的方程
∴
又。
∴AB长为。
1

解法二:∵直线过(1,0)点,即椭圆的右焦点∴
∴AB长为
。
评注:法二利用了椭圆的焦半径公式,椭圆上一点到左、右焦点的距离分别为和。
三、直线截椭圆所得弦中点相关问题
,求:
1)中点为(4,1)的弦所在直线的方程;
2)斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹;
3)过点(4,3)的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。
解析:设直线与椭圆交点为,,则
①
②
①-②得
③
(1)∵弦中点坐标为(
4,1),∴
,
,
则由③式得直线斜率为
∴直线方程为,即。
(2)设弦中点坐标为,则由③式可得④又∵∴
,即轨迹方程为。
(3)同(2),可知轨迹上的点是方程④的解
2

而,∴⑤
将⑤代入④可适当时,直线
与椭圆相交于和,中点为(4,0),经考证,也在上述椭圆
上∴轨迹方程为。
3