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2001 年第 22 期数学通讯 71
简单线性规划问题的图解法
尹建堂
(叶县高中,河南叶县 467200)
在生产实践和商业往来中,经常遇到以下两类问 f ( x , y) (二元一次函数) ;在不等式组区域(一般为凸
题:(1) 怎样有效地利用一定的人力、物力资源去完多边形) 的角点(多边形的顶点) 处找出最佳效益点
成最大的任务(最值问题) ; (2) 怎样进行合理安排, M ( x0 , y0) ;将坐标( x0 , y0) 代入目标函数求出最值.
才以最少量的人力、物力资源去完成一定的任务(合例 1 某工厂生产甲、乙两种产品,按供需要求,
理匹配问题) ,这就是所谓线性规划问题. 一般的线性计划每天生产各种产品不能少于 15 吨. 已知生产甲
规划问题,要用专门的数学知识来解决. 简单的线性种产品 1 吨,需用煤 9 吨,电力 4 千瓦,劳动力 3 个;
规划问题,可借助二元一次不等式的区域画图来解. 生产乙种产品 1 吨需用煤 4 吨,电力 5 千瓦,劳动力
1 最值问题 10 个. 又知甲种产品每吨价值 7 万元,乙种产品每吨
诸如寻求最高产值、最大利润、最大能量、最低耗价值 12 万元. 但生产中每天用煤量不得超过 300 吨,
损等,这类问题的基本解题步骤是:设出欲求变量 x , 电力不得超过 200 千瓦,劳动力只有 300 个. 问每天
y ;依题意列出关于 x , y 的二元一次不等式组(或混甲、乙两种产品各生产多少吨,才能既保证完成生产
合组) , 并画出不等式组的区域; 建立目标函数 s = 任务,又能创造最大产值,并求出这个最大产值.
合,该曲线可近似地看成正弦函数 y = A sinωt + B 电图, 我们若用 w =
的图象. asin( bt + c) 表示这电波,
1) 试根据数据那么 b 的值是多少?
表和曲线,求出函数练习 2 如图 5 所
y = A sinωt + B 的示是曲柄连杆机构, 活塞
表达式; 杆长 6 英寸, 曲柄的半径
图 4 练习 1 图
2 ) 一般情况为 2 英寸.
下,船舶航行时船底 1) 若曲柄沿逆时
图 3 例 3 图
同海底的距离不少针方向每秒转动 2 周,
于 4. 5 米时是安全的. 如果某船的吃水深度(船底与时间 t = 0 秒时点 A 的
水面的距离) 为 7 米,那么该船在什么时间段能够安坐标为( 2 , 0) , 试求 t
全进港? 若该船欲当天安全离港, 它在港内停留的秒时点 A 的坐标;
时间最多不能超过多长时间(忽略离港所需的时 2) 求 t 秒时点 B
间) ? (2001 年希望杯试题) 的坐标.
解由数据表和曲线知 A = 3 , B = 10 , 周期练习 3 科学家图 5 练习 2 图
T = 12 , 们常用公式 f ( t) = asin ( bt + c) + d 来模拟一天中
π气温的变化表示时间单位为小时表示午
∴函数式为 y = 3sin t + 10. , t , , t = 0
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夜零点,气温 f ( t) 的单位为℃. 若某天最高温度为
2) 由题意,水深 y ≥4. 5 + 7 ,
10 ℃;最低温度为- 10