对“差比型”数列求和方法的再思考.doc

对“差比型”数列求和问题解法的再思考
人教A版必修5课本中在推导等比数列前项和公式的过程中运用了的“错位相减法”,随后在课本第61页的习题中给出了这类求和问题的习题:……。
已知数列满足其中为公差不等于0的等差数列,为公比不等于1的等比数列,我们可以把这类数列简称为“差比型”数列。求这类数列前项和时通常在和式的两边都乘以(或除以)组成这个数列的等比数列的公比,然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为等比数列求和,这种方法即所谓的“错位相减法”。
近几年来的高考试卷中频频出现“差比型”数列的求和问题。如2017年山东文科高考题第19题:
已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.
(1)求数列{an}通项公式;
(2){ bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.
参考答案:(1)设数列的公比为,由题意知, . 又,
解得,所以.
(2)由题意知
又,所以.
令
因此
,
又,
两式相减得
所以.
大部分同学解决这个问题时,和上述参考答案一样使用“错位相减法”。这个方法的优点是有固定的求解模式,思路比较清晰。缺点是计算量大,一不小心就会出现计算错误,容易失分。其实只要大家深入思考就不难发现,“差比型”数列求和问题的求解方法,不是非“错位相减法”不可的。下面就向大家介绍两种解决“差比型”数列求和问题的方法。
先看结论1 :若数列的通项公式为,其中数列是公差不为0的等差数列,是公比不为1的等比数列,则数列也是“差比型”数列。
这个结论很容易证明。我们不妨设等差数列首项为,公差为,等比数列首项为,公比为,
则
=
令,显然数列是以为首项,以为公差的等差数列。于是,故数列也是“差比型”数列。
再看结论2:若数列的通项公式为其中数列是公差为()的等差数列,数列是公比为()的等比数列,则存在一等差数列使,其中等差数列的首项和公差分别为、。我把它称为裂项公式。
利用结论2,很容易地得到前项和公式
…+
=+…+
=
下面,根据上述结论我们给出2017山东高考文科19题的第二种解法:
解:(1) (过程略)
(2)设

=
所以.
从前面的解题过程中可知,利用“裂项相消法”解决“差比型”数列的求和问题步骤简洁,该方法的实质在学生深入了解数列之间的联系的基础上,利用转化与化归思想,发现知识间的内联系,是学生探索能力、创新能力的重要体现。同样下面的解法也能说明这一点。
结论3:若数列的通项公式为,其前n项和为,其中数列是公差为()的等差数列,数列是公比为()的等比数列,则存在一等差数列使为一个常数列。
该结论的证明思路如下:
不妨设等差数列首项为,公差为,等比数列首项为,公比为,则
可设,整理后比较系数可解出的值,级得到常数列,其中。
根据结论3,我们给出2017山东高考文科19题的第三种解法:
解:(前面部分同上,略)
根据,可得①
设,
即②
比较①②式可得
所以数列为常数列。
因此
所以.
《普通高中数学课程标准》中指出,学生的数学学忆、模仿和练习,高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性,是学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。在