对“差比型”数列求和方法的再思考.docx

对“差比型”数列求和问题解法的再思考a1(1qn)人教A版必修5课本中在推导等比数列前n项和公式&1q(q1)的过程中运用了的“错位相减法”,随后在课本第61页的习题中给出了这类求和问题的习题:S12x3x2n1nx。已知数列{ang其中{a.}为公差不等于0的等差数列,{0}为公比不等于1的等比数列,}简称为“差比型”数列。求这类数列前n项和时通常在和式的两边都乘以(或除以)组成这个数列的等比数列的公比,然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为等比数列求和,这种方法即所谓的“错位相减法” 。近几年来的高考试卷中频频出现“差比型”数列的求和问题。如2017年山东文科高考题第 19题:已知{an}是各项均为正数的等比数列 ,且a1a2 6,a1a2a3.(1)求数列{an}通项公式;(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和S,已知S>n1bnbn1, 2,q所以an2n.(2)由题意知(2n1)(b. b2n1) ,S2n才山(2n 1)bn1又S2nbnbn1, ……2n2*12n1,2n2n12n1n n122两式相减得2Tn3211 2n12n1 n122所以Tn52n52n大部分同学解决这个问题时,和上述参考答案一样使用“错位相减法” 。这个方法的优点是有固定的求解模式,思路比较清晰。缺点是计算量大,一不小心就会出现计算错误,容易失分。其实只要大家深入思考就不难发现, “差比型”数列求和问题的求解方法, 不是非“错位相减法”不可的。下面就向大家介绍两种解决 “差比型”数列求和问题的方法。先看结论1:}anbn,其中数列{务}是公差不为0的等差数列,{0}是公比不为1的等比数列,Cn1}也是“差比型”数列。这个结论很容易证明。我们不妨设等差数列{an}首项为ai,公差为d,等比数列{bn}首项为bi,公比为q,1[a1(n1)d]b!qn1(印nd)0qn[印(n1)da1qnqdlbg"1n1=[a1(1q)qd(n1)(1q)d]dq令ena/1q)qd(n1)(1q)d,显然数列{s}是以ea,1q)qd为首项,以(1q)d为公差的等差数列。1enbn,}也是“差比型”数列。再看结论2:}ang其中数列{a.}是公差为d(d0)的等差数列,数列{bn}是公比为q(q1)的等比数列,则存在一等差数列{Xn}使anbnXnbn焉初厂,X1其中等差数列{Xn}的首项XX1和公差do分别为厘^_ddo丄d1q(1q)、 1q。我把它称为裂项公式。利用结论2,很容易地得到前n项和&公式Sn a1b1a2b2 …+anbn%2匕2)(X2b2X3d)+…+(XnbnXn1bn1)(2)设Cn2n1 1n(anbXR[a(n 1)b](1)n易得a4,(4n6)(:)n2(4n1n110)(RTn[5C1 C2 ....1214(;)]2Cn1[14(二)218(2)3][(4n1n 1n1%) (4n叫)]=52n52n52n从前面的解题过程中可知,利用“裂项相消法”解决“差比型”数列的求和问题步骤简洁,该方法的实质在学生深入了解数列之间的联系的基础上,利用转化与化归思想,发现知识间的内联系,所以Tn52n是学生探索能力、