平均值不等式的应用.ppt

平均值不等式
De
应用
问题:求周长为8的矩形面积的最大值
解:设矩形的长、宽分别为a、b,面积为S.
由题意得a+b=4,求S=ab的最大值
当且仅当a=b=2时,面积的最大值为4
∵ a,b∈R+
∴
例1:已知x,y都是正实数,求证:(1)如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小值2 ; (2)如果和x+y是定值s,那么当x=y时,积xy有最大值.
证明: ∵x,y∈R+ ,
∴
(1) 当xy=p时,有,得
上式当且仅当x=y时取“=”号,因此当x=y时,和x+y有最小值
(2)当x+y=s时,有,
上式当且仅当x=y时取“=”号,因此当x=y时,积xy有最大值
(1)已知x>0,则当x= 时,函数的最小值是.
(2)已知x<0,则当x= 时,函数的最大值是.
2
-2
(3)已知a,b∈R,且a+b=3,那么2a+2b的最小值是.
1
-1
例2:
(1)已知x< ,求的最大值
例3:
答案:当x=1时,y取得最大值2
(2)已知x>0,y>0,且5x+7y=20,求xy的最大值
答案:当且仅当5x=7y=10时,即x=2, 时,取得最大值
(3)已知x,y∈R+ 且 x+2y=1,求的最小值
答案:当时, 取得
最小值
探索2:已知0<x<π,试求的最值
探索1:已知x,y∈R+且xy-x-y-1=0,则x+y的最小值是.
小结:
平均值定理在求函数的最值方面的应用
,它们的积有最大值.
即已知x、y是正数,且x+y=s(定值),则当且仅当x=y时,xy有最大值
,它们的和有最小值.
即已知x、y是正数,且xy=p(定值),则当且仅当x=y时,和x+y有最小值
在使用平均值不等式求函数的最值时,必须注意以下三点:
一正——字母为正数;二定——和或积为定值;三相等——等号应能取到.