应用平均值不等式.docx

x1 log a(a a2 1) 1( a 1),
x1 log a(a a2 1) 1( a 1),
应用平均值不等式
应用平均值不等式，在活”与巧”上下功夫
平均值不等式，是不等式”这一章最重要的公式之一，它是不等式证明的是，当a>1时，证明方程在［―1,1］内无解的上面的两种证法都值得借鉴。
1
练习题：已知1oga(a1)loga(2a)-,则a的取值沱围是。
2
,,1
(答：a(1,1).你是如何应用平均值不等式确定a不可能大于1的呢？4
.找定值，巧用平均值不等式，这个定值有时是明显的，而有时则是比较隐蔽的。
2,2
<x<1,证明a--(ab)
.已知x,y,zCR+，且xyz(x+y+z)=1,求证(x+y)(y+z)>2.
+(1-x)=1为定值，这就启发我
们找到了这样的简捷解。

abab、
证明：..一——［x(1x)］(———)
x1xx1x
2 ,2
a b
2 ,2
a b
1 x 2
( a
x
2ab (a
b2)
b)2.
,原不等式成立。
找到了分母为定值，证明就简单了吧?
而题4的定值却不是一目了然的。
(x+y+z)=xz(xy+y2+yz)=1
•.xy+y2+yz=—xz
又(x+y)(y+z尸xy+y2+yz+xz.(2
①②两式比较，发现①式的两边分别加上
xz,则定值出现了
.21
••xzyyzxz—xzxz
这个证法有点让人激动！
1-
练习题：x,yC(0,1),x<y,右x,y=mmlog〔xlogi乂,则()
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>&><1
1
(选D,由xy1为定值，应用平均值不等式。)
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3应用平均值不等式时应注意验证等号是否能够取得到
,b,cCR+,求证：J-a-竺二2.

6ab、c为三角形之三边，S为其面积，求证：a2b2c2413s,并说明等号在什么情况下取得。
！观察思考三个无理根式的分子他分母，分母的他为分子的和的2倍，于是想到
证明：迪二c11(b-c1)abc,即12a，同理有
a2a2abcabc
巨12b;CE12c
bcabc'ababc'
三式相加
等号成立的条件是J—1,J—14工1,这三式同时成立，即

b=a+c,c=a+b,a=b+G于是a+b+c=0,与题设矛盾。
.. .2a 1 ,2b 1
a
b c
证完了！回头看看，感觉到平均值不等式的确用活了！
+b2+c2,因此联想余统定理
.. .2a 1 ,2b 1
证明：a2+b2+c2=2(a2+b2)—2abcosC,
(a2b2c2)4，.3S
(a2b2c2)
2(a2b2)2ab(cosC..3sinC)
2(a2b2)4absin(C-)
4ab[1sin(C-)]0,ab,等号当且仅当c即三角形为等边三角形时取得。
C一—，6