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离散傅里叶变换
Discrete Fourier Transform
内容提要
离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)是时间函数是离散的,而且频谱函数也是离散的变换。
离散傅里叶变换定义
DFT物理意义
DFT基本性质
讨论频率取样理论。
DFT的应用
傅里叶变换的各种形式
连续时间、离散频率的傅里叶变换
对于周期为T的连续时间信号,可以采用傅里叶级数展开:
连续时间、连续频率的傅里叶变换
对于非周期的连续时间信号,可以进行傅里叶变换:
它在时域和频域都是连续的。
离散时间、连续频率的傅里叶变换
对于非周期的序列,其傅里叶变换在频域是以2π为周期的连续函数。
离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一个长度为M的有限长序列, 则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为
X(k)的离散傅里叶逆变换为
式中, , N称为DFT变换区间长度, N≥M, 通常称()式和()式为离散傅里叶变换对。
Note:有限长序列x(n)的DFT即X(k)仍是有限长序列。
对长度为M的序列x(n),其Z变换
N点DFT
进行对比,可以看出
式中,
表示z平面单位圆上辐角
(k=0,1,…N-1)的N个等间隔点。
DFT与FT、Z变换的关系
说明:序列x(n)的N点DFT是其Z变换在单位圆上的N点等角距取样,(a)。序列x(n)的DFT是其FT在区间[0,2π]上的N点等间隔取样。(b)。
DFT的隐含周期性
DFT变换对中
均为整数
所以式() 中, X(k)满足
同理可证明式() 中
x(n+mN)=x(n)
任何周期为N的周期序列都可以看做长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列,而x(n)是的一个周期
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