2009年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试卷.doc

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试题所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高中高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求,在方法的要求上有所提高,主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况,包括10道填空题和3道解答题,全卷满分100分,考试时间为120分钟.
填空题(每题6分,共60分)
已知函数,若f(-1)=,则f(1)=__________________.
定义b-a叫集合{x|a≤x≤b}的“长度”.设M={x|m≤x≤m+},N={x|n-≤x≤n},且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,那么集合M∩N的“长度”的最小值为_________.
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,且a+b-c=1,已知长方体的对角线长为1,且a≠b,则c的取值范围是___________________.
若关于的方程a2x+(1+lgm)ax+1=0 (a>0且a≠1)有解,则m的取值范围是____________________.
对于任意n∈N*,抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴相交于An、Bn两点,则|A1B1|+|A2B2+…+|A2009B2009|=____________________.
某文娱队的每位队员至少会唱歌、跳舞中的一项,该文娱队共有n名队员,已知其中会唱歌的有2人,,设ε为选出的2人中既会唱歌又会跳舞的人数,且P(ε>0)=,则n=_______________.
一个圆周上有9个点,以这9个点为顶点作三角形,当这三个三角形的边互不相交时,我们把它称为一种“构图”,则不同的“构图”共有_________种.
已知点A(4,0)、B(2,2),M是椭圆上的动点,则|MA|+|MB|的最大值为_______________.
已知向量、、满足||=||=2,||=1,(-)·(-)=0,则|-|的取值范围是___________________________.
已知角α、β满足2sin2α+sin2β-2sinα=0,则cos2α+cos2β的取值范围是______________.
解答题(共40分)
11.(12分)有n把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门上的锁打开。设抽取钥匙是相互独立且等可能的,每把钥匙试开后不再放回,求试开次数ε的分布列及数学期望Eε.
12.(14分)已知函数f(x)=-2x+4,
令,若不等式恒成立,求实数a的取值范围.
13.(14分)设椭圆C1的方程为,曲线C2的方程为y=,且C1与C2在第一象限内只有一个公共点P.
(1)试用a表示点P的坐标;
(2)设F1、F2是C1的两个焦点,当a变化时,求的面积函数f(a)的值域;
(3)设g(a)是以C1的半焦距为边长的正方形的面积,求函数y=min{f(a),g(a)}的表达式。
2009年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试卷参考答案及评分标准
填空题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

(0,)
(0,10-3]
5
9
10+2
[