《线性代数》单元自测题答案
第五章方阵的特征值与特征向量
填空题:
; 2.; ,; 4.; 5..
单选题:
; ; ; ; .
三、计算题
:因的特征多项式
所以的特征值为,
当时,解方程组,即
得基础解系,则属于的全体特征向量为。
当时,解方程组,即
得基础解系,,则属于的全体特征向量为(,不同时为0)。
2. 解因的特征多项式
所以的特征值为,.
对于,解方程组,即
得基础解系,,
由于二重特征根的代数重数等于几何重数,故知可对角化.
对于,解方程组,即
得基础解系,取,则有
.
因此为所求的相似变换矩阵,即为所求的对角矩阵.
:(1)由已知得是的特征根,于是有
,
解得. 从而有
,
故可得.
当时,解,得基础解系.
当时,解,得基础解系.
取
,
则。
四、证明题:
1.(1)证明因为是的特征根,故有向量,使得,于是有
即5是5的特征根.
证明因为是的特征根,故有向量,使得,左乘得
故是的特征根.
,
故的特征值为.。当时,因为
,
因此若可对角化,则的基础解系中必含有2个解向量,于是必有,从而有。
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