七、三角形四心问题
一、四心的概念介绍
(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1;
(2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;
(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;
(4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
(1)是的重心.
证法1:设
是的重心.
证法2:如图
三点共线,且分
为2:1
是的重心
(2)为的垂心.
证明:如图所示O是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC, D、E是垂足.
同理,
为的垂心
(3)设,,是三角形的三条边长,O是ABC的内心
为的内心.
证明:分别为方向上的单位向量,
平分,
),令
()
化简得
(4)为的外心。
三、例题分析
例1:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则点的轨迹一定通过的
例2: 是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则点的轨迹一定通过的
例3:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则点的轨迹一定通过的
四、巩固练习
,满足,若实数满足:,则的值为
,半径为1,,则
,则面积与凹四边形面积之比是
,若,则是的
,是平面上不共线的三个点,若
,则是的
,两条边上的高的交点为H,,
则实数m =
(+)·=0且·= , 则△ABC为
,若,则为
三角形四心问题 来自淘豆网m.daumloan.com转载请标明出处.
