概率论与数理统计徐雅静.doc

概率论与数理统计第一章习题参考解答
1、写出下列随机试验的样本空间。
(1)枚硬币连掷三次,记录正面出现的次数。
(2)记录某班一次考试的平均分数(百分制记分)
(3)对某工厂出厂的产品进行检验,合格的记上“正品”,不合格的记上“次品”,如
连续查出2 个次品就停止检查,或检查4 个产品就停止检查,记录检查的结果。
(4)在单位圆内任取一点,记录它的坐标。
解:(1)S = {0,1,2,3},
(2) S ={k/n: k=0,1,2,··· ,100n},其中n 为班级人数,
(3) S = {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111},其中0
表示次品,1 表示正品。
(4)S = {(x, y) x2 + y2 < 1}
2、设A、B、C 为三事件,用A、B、C 的运算关系表示下列各事件
(1)A、B、C 中至少有一个发生
(2)A、B、C 中恰好有一个发生
(3)A、B、C 都不发生
(4)A、B、C 中不多于一个发生
(5)A、B、C 中不多于两个发生
解:(1)A∪ B ∪C
(2)ABC ∪ ABC ∪ ABC
(3)A B C 错解ABC = A U B UC
(4)即至少有两个不发生A B∪ A C ∪B C(5)即至少有一个不发生ABC = A U B UC
2、指出下列命题中哪些成立,哪些不成立。
(1)成立, (2)不成立, (3)不成立, (4)成立
(5)成立, (6)成立(7)成立(8)成立
4、把A∪ B ∪C表示为互不相容事件的和。
解:(A − AB)∪(B − BC)∪(C − CA)∪ ABC 答案不唯一
5、设A、B 是两事件,且P(A)=,P(B)=。问(1)在什么条件下P(AB)取到最大
值?最大值是多少?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值?最小值是多少?
(1)A ⊂ B时,P(AB) = ,
因为 A、B 一定相容,相交
所以A 和B 重合越大时P(AB)越大
(2)A∪ B = S 时,P(AB)= 为最小值
6、若事件A ,是否能说在10 次实验中A 将发生7 次?为什么?
答:不能。因为事件 A 发生的频率具有波动性,在一次试验中得出的频率并不一定正好等
于事件A 发生的概率。
7、从一批由1100 件正品,400 件次品组成的产品中任取200 件。
(1) 求恰有90 件次品的概率
(2) 求至少有两件次品的概率。
(1)
200
1500
110
1100
90
400
C
C C
, (2)
200
1500
199
1100
1
400
200
1 1100
C
C + C C
−
8、在房间里有10 个人,分别佩带从1 号到10 号的纪念章,任选3 人记录其纪念章的号码。
(1) 求最小号码为5 的概率。
(2) 求号码全为偶数的概率。
(1)最小号码为5,即从6、7、8、9、10 里选两个,所求概率为
3
10
2
5
C
C
=
12
1
(2)号码全为偶数,即从2,4,6,8,10 里选三个,所求概率为
3
10
3
5
C
C
=
12
1
9、在0,1,2,3,…..,9 共10 个数字中,任取4 个不同数字排成一列,求这4 个数字能
组成一个偶数四位数的概率。
解:设事件“组成一个偶数四位数”为A
任取4 个不同数字排成一列共有: 4
10 A 种
解法一组成一个偶数四位数有
2
8
1
4
1
4
2
8
1
5
1
5
:
:
A A A
A A A
首位偶
首位奇
90
41
10 9 8 7
( ) 41 8 7 4
10
2
8
1
4
1
4
2
8
1
5
1
5 =
⋅⋅⋅
⋅⋅
=
+
∴=
A
P A A A A A A A
解法二分末位0 和末位不为0 两种,组成一个偶数四位数有3
9
2
8
1
8
1
4 C C A + A 种
90
( ) 41 4
10
3
9
2
8
1
2
1
4 =
+
∴=
A
P A C C A A
错误:认为样本空间也为四位数,实际只要求是一列.
10、求10 人中至少有两人出生于同一月份的概率。
解:10 人中至少有两人出生于同一月份的概率为:
10
10
12
12
1− C 10! =
11、从5 双不同的鞋中任取4 只,求这4 只鞋子