例8 求出和的图形的公共部分的面积(其中).
解如图(见系统演示),由对称性可知,所求面积为阴影部分面积的8倍,且线段在直线上. 令代入方程
得其极坐标方程为
于是所求面积可表示为
例2 (E03) 两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,下垂成曲线形. 这样的曲线叫悬链线. 适当选取坐标系后,悬链线的方程为, 其中为常数. 计算悬链线上介于与之间一段弧的长度.
解如图,由于对称性,要计算弧长为相应于从到的一段曲线弧长的两倍.
弧长微元:
故所求弧长为
例6 证明正弦线的弧长等于椭圆
的周长.
证设正弦线的弧长为则
设椭圆的周长为则
(利用椭圆的对称性)
故原结论成立.
例7 求极坐标系下曲线的长.
解
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