2013-2014中考数学专题复习 专题二20新定义型问题(含....doc

2013-2014中考数学专题复习 专题二20新定义型问题(含... 专题二新定义型问题
一、中考专题诠释
所谓“新定义”型问题,主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”
二、解题策略和解法精讲
“新定义型专题”关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.
三、中考典例剖析
考点一:规律题型中的新定义
例1 (2013•湛江)阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题:
sin30°=,cos30°=,则sin230°+cos230°= 1
;①
sin45°=,cos45°=,则sin245°+cos245°= 1
;②
sin60°=,cos60°=,则sin260°+cos260°= 1
.③
…
观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A= 1
.④
(1)如图,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想;
(2)已知:∠A为锐角(cosA>0)且sinA=,求cosA.
思路分析:①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值;
④由前面①②③的结论,即可猜想出:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1;
(1)如图,过点B作BD⊥AC于D,则∠ADB=90°.
利用锐角三角函数的定义得出sinA=,cosA=,则sin2A+cos2A=,再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2,从而证明sin2A+cos2A=1;
(2)利用关系式sin2A+cos2A=1,结合已知条件cosA>0且sinA=,进行求解.
解:∵sin30°=,cos30°=,
∴sin230°+cos230°=()2+()2=+=1;①
∵sin45°=,cos45°=,
∴sin245°+cos245°=()2+()2=+=1;②
∵sin60°=,cos60°=,
∴sin260°+cos260°=()2+()2=+=1.③
观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1.④
(1)如图,过点B作BD⊥AC于D,则∠ADB=90°.
∵sinA=,cosA=,
∴sin2A+cos2A=()2+()2=,
∵∠ADB=90°,
∴BD2+AD2=AB2,
∴sin2A+cos2A=1.
(2)∵sinA=,sin2A+cos2A=1,∠A为锐角,
∴cosA=.
点评:本题考查了同角三角函数的关系,勾股定理,锐角三角函数的定义,比较简单.
对应训练
1.(2013•绵阳)我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,,“漂亮”结论,:
(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:;
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究的最大值.
2.(1)证明:如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E.
∵点O是△ABC的重心,∴CE是中线,点E是AB的中点.
∴DE是中位线,
∴DE∥AC,且DE=AC.
∵DE∥AC,
∴△AOC∽△DOE,
∴=2,
∵AD=AO+OD,
∴=.
(2)答:点O是△ABC的重心.
证明:如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.
由(1)可知,=,
而=,
∴点Q与点O重合(是同一个点),
∴点O是△ABC的重心.
(3)解:如答图3所示,连接DG.
设S△GOD=S,由(1)知=,即OA=2OD,
∴S△AOG=2S,S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S.
为简便起见,不妨设AG=1,BG=x,则S△BGD=3xS.
∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=(3x+3)S,
∴S△ABC=2S△ABD=(6x+6)S.
设OH=k•OG,由S△AGO=2S,得S△AOH=2kS,
∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=(2k+2)S.
∴S四边形BCHG=S△ABC-S△AGH=(6x+6)S-(2k+2)S=