祖暅原理及其应用.docx

祖暅原理及其应用.docx祖眶原理及其应用祖的g眶原理,又名等幕等积定理⑴,是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体,其体积也必然和等的定理。祖眶Z《缀术》有云:“缘幕势既同,则积不容异⑵。”该原理最早由中国古代数学家刘徽提出山。南北朝时又被祖冲之的儿子祖眶提出览。祖冲之两父子采用这一原理,求出了牟合方盖的体积,进而算出球体积。在欧洲17批纪意大利数学家卡瓦列里亦发现相同定理,所以西方文献一般称该原理为卡瓦列里原理皿。在现代的解析几何和测度应用中,祖眶原理是富比尼定理中的一个特例。卡瓦列里没有对这条的严谨证明,只发表在1635年的Geometriaindivisibilibus以及1647年的ExercitationesGeometricae屮,Q以此方式可以计算某些立体的体积,甚至超越了阿基米德和开普勒的成绩。这个定理引发了以面积计算体积的方法并成为了积分发展的一个重要步骤。简单应用圆柱体圆柱体如果垂直转轴切开圆柱体,设卩为半径,可以得到横切面面积为疗异的圆形。根据祖眶原理,圆柱体的体积相等于方形面积相等于圆面积的立方体乩所以半径为7•和咼为h的圆柱休体积是ttP•h。垂直(上)以及水平(下)切开半球体和对照立体从其中一层以垂直表面的高新黄切半径为卩的半逑佐,根据勾股定理,半径为:/=Vt2—:?r・(r)2=?r-(r2—ft2).对照立体是一个拥有与半球体相同横切面积和高的立体,中间有一个圆锥体。高力的对照立体坯形切面有内圆周卩以及外圆周h,其面积如下:7T・F2—7T・/=7T・(矿2—ft2).因此两个立体都满足祖眶原理并且有和同体积。对照立体的体积便是圆柱体和圆锥体体积之差,所以药・严・r~^•药=訂・代tr成功利用这条有名的方程计算岀半球体体积,从而导出球体体积公式。微积分£□两条方程式积分后的差与两条方程式Z差的积分祖眶原理背后的概念经常出现在微积分中。作为维度的一个例子,因此两条方程式在两个交点间的面积可以利用以下方程获得:_9何)归=实质上表示了函数图形/和9之间的Al面积与函数图形了I几工)一久可下的理2相同,而后者的交点距离与前者相等。由于现代数学中的积分和面积的互相关系,而体积可以通过微分计算,使祖眶原理变得更为少用。