四点共圆.docx

【四点共圆的性质及判定】判定定理1:若两个直角三角形共斜边,则四个顶点共圆,:共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,:对于凸四边形ABCD,若对角互补,则A、B、C、:相交弦定理的逆定理:对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P,若PA·PC=PB·PD,则A、B、C、D四点共圆。判定定理5:割线定理的逆定理:对于凸四边形ABCD两边AB、DC的延长线相交于P,若PB·PA=PC·PD,则A、B、C、D四点共圆。托勒密定理:圆内接四边形中,:若四边形内接于圆,:如图,在圆内接四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=90°,AB=2,CD=1,求BC的长解:延长AB、DC相较于点P∵∠A=60°∴∠PCB=60°又∠PBC=90°∴PC=2BC,PB=BC∵四边形ABCD是圆的内接四边形∴PA·PB=PD·PC∴(PB+AB)·PB=(PC+CD)·PC∴(BC+2)·BC=(2BC+1)·2BC∴BC=2-2例2:如图,正方形ABCD的面积为5,E、F分别为CD、DA的中点,BE、CF相交于P,求AP的长解:连接BF。∵DF=CE,CD=BC,∠CDF=∠BCE∴△CDF≌△BCE∴∠CFD=∠BEC∵∠DCF+∠CFD=90°∴∠DCF+∠BEC=90°∴∠EPC=90°又∠BAF=90°∴∠EPC+∠BAF=180°∴F、A、B、P四点共圆∴AP·BF=PF·AB+AF·PB∵△CDF∽△CPE∴CD:CP=CF:CE=DF:PE∴5:CP=52:52=52:PE∴CP=1,PE=∴PF=CF-CP=-1=,PB=BE-PE=-=2∴AP×=×5+52×2,∴AP=5例3:如图,四边形ABCD内接于⊙O,CB=CD=4,AC与BD相交于E,AE=6,线段BE和DE的长都是正整数,求BD的长解:∵=∴∠BDC=∠DBC∵∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠DBC又∠ACB=∠BCE∴△ABC∽△BEC∴AC:BC=BC:EC∴(AE+EC):BC=BC:EC即(6+EC):4=4:EC∴EC=2∵AE·EC=EB·ED即6×2=EB·ED∴EB·ED=12∵线段EB和ED的长是正整数,且三角形两边之和大于第三边∴只能是EB=3,ED=4或EB=4,ED=3∴BD的长是7例4:如图,OQ⊥AB,O为△ABC外接圆的圆心,F为直线OQ与AB的交点,BC与OQ交于P点,A、C、Q三点共线,求证:OA2=OP·OQ证明:延长OF交⊙O于E,连接AP、OB∵OF⊥AB,∴AF=BF∴PA=PB又OA=OB,OP=OP∴△AOP≌△BOP∴∠APO=∠BPO∵OF⊥AB∴==∴∠AOF=∠AOB,又∠ACB=∠AOB∴∠AOF=∠ACB∴A、O、P、C四点共圆,∴∠OAQ=∠CPQ∵∠CPQ=∠BPO,∴∠OAQ=∠BPO又∠APO=∠BPO,∴∠OAQ=∠APO又∠AOQ=∠POA,∴△OAQ∽△OPA∴OA:OP=OQ:OA,∴OA2=OP·OQ例5:如图,P是⊙O外一点,PA与⊙O切于点A,PBC是⊙O的割线,AD⊥PO于D,求证:PB:BD=PC:CD证明:过点B作BE∥CD交PO于E,连接OA、OB、OC∵PA