子空间的正交.doc

子空间的正交授课题目::掌握向量与子空间中正交、两子空间正交的概念;掌握正交子空间的性质;正交补的概念及性质;:3学时教学重点:正交子空间的性质,:、子空间的正交关系1、向量与子空间正交定义1、设,是欧氏空间的一个子空间,,如果与的每一个向量都正交,WV,,VW即,,有<,>则称与子空间正交,记作,,,,W,,0W,,W2、两子空间正交定义2、设W,W,,W,,,W是欧氏空间的两个子空间,如果对于任意,都有V1212WWW,W,,,,,,0则称与正交,记为。112W,WW,W若则12213、:设W,W,?,W是欧氏空间的两两正交的子空间,那么有V12tW,W,?,W是直和12t证明:设,,W:(W,W,?,W,W,?,W)则存在i12i,1i,1t,,,,?,,,,,,,,,,?,,,,,?,,使得,12ti12i,1i,1t,,Wj,1,2,?.tjj因为W,W,?,W是两两正交的,所以12t,,,,,,,,,,,,,?,,,,,?,,,,0i12i,1i,1t故W,W,?,W是直和12t二、向量在子空间上的正射影1、:设是欧氏空间的子空间,中和正交的所有向量WVVW,是的子空间.,,VW,,,V,,W,,,W,,a,b,R,,,,,W?0,W故,设,那么对于任意我,,W,们有,a,,b,,,,,a,,,,,,b,,,,,,0证明:,,从而a,,b,,,、正交补、向量在子空间上的正射影1)直和分解定理,:设是欧氏空间的一个有限维子空间,那么V,W,W,从而,,,,VWV,可以唯一地写成,,,,,,,,W,,,W,证明:当,,W,0时,W,定理显然成立,取的一个标准正交基,VW,,,,,,?,,,,设,令,,Vs,dimW12s,,,,,,,,,,,,,,,,?,,,,,,,1122ss于是,,W,,,,,,,,,,,,ii故,,,,,,,,0,i,1,2,?,si,再令,,W,,,,,,则,,W,从而,,,,,,,,,W,,,W,因此V,W,W,,,又若,,,,W:WW:W,0,那么,,,,,,0,从而,于是,,02)子空间的正交补、向量在有限维子空间上的正射影、垂线最短定理,定义3设是欧氏空间的子空间,则称子空间W是的正交补。WVW,V,,,W,,,W中任意向量可唯一的写成,,,,,,其中,将叫做在有限,维子空间上的正射影,将,叫做,到的垂线。:,是欧氏空间的一个有限维子空间,是,在上的正射影。那么对WVW于任意,,W,d(,,,),d(,,,,,即,,与子空间的各个向量的距离中以,在上的正射影的距离最短。WW证:设,,,,,,是,到的垂线,,Wd,(,,),,,,,,,d(,,),,,,,,,,,,,(,,,),,而由勾股定理,,,,W,,,,,,,2222+(,,,),,,,,,,,,从而d(,,,),d(,,,)4例1:设,,(1,1,2,1),,,(1,0,0,,2),W,L(,,,)是欧氏空间的子空间,求R1212,W,并求,,(1,,3,2,2)在上的正射影。W,