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数学中的有限和无限数学中的有限和无限庄清清摘要本文主要总结了数学中有限与无限的关系,通过实例讨论了无限是有限的基础,无限是由有限构成的,有限由无限组成,无限是有限的延伸,并讨论了它们的质的区别以及相互关系,,无限关系1引言“数学是讲述无限的科学.”这句话是代表20世纪数学界辉煌发展的著名数学家、,这话让人感觉有些奇特而难以捉摸,,以前人们都认为数学是有限的,直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后,,“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论,就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位,甚至能够说,没有无限的延伸,,我们一般都习惯了数学领域的有限性,因为我们所接触的东西大多数都能够摁摁手指或者脚趾就能够数得清楚了,有限的人,有限的杯子,有限的盘子等等,于是无限的领域就像个无底洞,让我们觉得高深莫测了,但是当我们仔细地想一想,就会清楚地发现数学中,无限其实是由有限构成,而有限又包含着无限,两者相互交叉,相互联系,就例如我们生活中最常见的一条绳子,你就能够将它剪成无数的小段一样,另外我们大家所熟悉的自然数序列“1,2,3,4,5,6,7,8,9,,,”,当你一个个数字的去数,你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列,这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域,然而,,“自古以来,没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪,,也没有别的概念像它这样迫切需要澄清”.它引发了三次数学危机:第一次危机发生在公元前580~568年之间的古希腊,数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派,他们错误地认为,,由于推敲微积分的理论基础问题,数学界出现混乱局面,,罗素悖论的产生震撼了整个数学界,号称天衣无缝,.下面我们观察一下几个式子我们能够得到无限个数的和能够是个有限数,另外我们还学过微积分,由此我们都知道任何积分都是一个趋于无限过程的结果,,才能被理解,才能被运用,而在数学上,有限与无限的转化条件是:运用分析运算,微积分,极限等等手段来进行的,数学中的有限与无限是那么的复杂,,只要它们没有交点,我们就认为它们是平行的,直线在数学中是没有明确的定义的,我们只知道,直线是能够无限的向两端延伸的,延伸的次数没有限制,延伸的长度也是没有限制的,那么在地面上当它无限延伸的时候,两条直线必定会相交于一点,那就是地心,那么我们说的平行线也就是错误的说法了?未必,只要我们说的那两条直线是有限的就行了,,投掷硬币的概率,那是我们在熟悉不过的事情了,我们习惯说投掷一枚硬币得到正反面的概率都是,假如我投掷硬币十次得到3次正面,7次反面呢,那我说投掷硬币得到正面的概率是,反面的概率是,,我们平常说的概率,那是在做了无数次的实验后得到的近似值,,,无限就像空气一样,虽然你看不到它的存在,但是你却不能忽视它的存在,,正确吗?,又正确吗?显然,按照现代的数学知识理论,它是正确的,,,:“对不起,我们没有任何空房间,但是让我看一下,或许我们能为你找到一个房间”.然后店主离开他的桌子,他不情愿地叫醒他的每位房客,并且请他们换一房间:一号房间的房客搬到二号房间,二号房间的房客搬到三号房间,三号房间的房客搬到四号房间,,如此依此类推下去,,,,有一个问题让他百思不得其解:为什么让每个房客搬到下一个房间就会把第一个房间空出来了呢?因为这所旅店就是希尔伯特的旅店,它是城里一个据认为有无数房间的旅馆.,每个房间只能够住一个旅客,,,但组成自然数的每个数都是有限的,例如1,2,3,4,5,6,7,8,,9,10……,这些数都是组成自然数的成分,但是我们众所周知的是只有一个1,只有一个2,只有一个3……也能够说无限是由有限数组成的,再如我们在数学分析中看到的调和级数是发散的,但它的任一部分和都是有限的,只是当时,部分和才超过任何一个指定的数,.4有限由无限组成公元前5世纪古希腊时代,在意大利半岛南部的埃利亚有一位叫芝诺的哲学家就留下一个很有意思的“二分说”论——为了从自己现处位置A,走向门的位置B,,其中间还有中点……如此考虑下去,,有限的AB段即使是很短很短的一段线段也是由无数个类似的中点