化椭为圆巧解直线与椭圆问题.doc

化椭为圆巧解直线与椭圆问题甘肃省白银市第九中学胡贵平椭圆在伸缩变换下变成了圆,直线在伸缩变换下仍然变成直线,,、:作坐标变换则在新坐标系中,椭圆变成单位圆,(单位圆的半径),所以直线与单位圆相交,:,椭圆为,则直线与椭圆相交等价于,直线与椭圆相切等价于,、直线与椭圆的最值问题例2在椭圆上求一点,使点到直线的距离最小,:作坐标变换则在新坐标系中,椭圆变成单位圆,:在单位圆上求一点,使点到直线的距离最小,,它与单位圆的交点为,所以到直线的距离最小,于是椭圆上的点到直线的距离最小,:这是人教版4-4上的一道例题,常规解决是用椭圆的参数方程及三角函数求极值的方法求解,、直线与椭圆的中点弦问题例3已知椭圆.(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(2)过点的直线与椭圆相交,求被截得的弦的中点轨迹方程;(3):(1)作坐标变换则在新坐标系中,椭圆变成单位圆,:,,.(2),椭圆变成单位圆,变为,:过点的直线与单位圆相交,,被截得的弦的中点轨迹方程为,(夹在椭圆内的部分).(3)作坐标变换则在新坐标系中,椭圆变成单位圆,变成,问题化为:,过点且被平分的弦所在直线的方程为,:原来弦的中点,变换后仍然是弦的中点;过椭圆内一点引动弦的中点的轨迹方程为;设为椭圆为内一定点,过点且以点为中点的弦所在直线的方程为(当时)或(当时).四、直线与椭圆的相交弦问题例4已知椭圆直线:,是上一点,射线交椭圆于R,又点在上且满足,当点在上移动时,求点的轨迹方程,:作坐标变换则在新坐标系中,椭圆变成单位圆,:.∴,,则,则而.∴.设则①②即2+②2可得的轨迹方程为:.把代入即得的轨迹方程为:,故点的轨迹是以为中心,长半轴长为,短半轴长为,且焦点在直线上的椭圆(除去原点).评注:上述给出的解法充分利用在新坐标系下“”,,点和点在在伸缩变换下变为点和点,则,、直线与椭圆的相切问题例5设为椭圆上一点