极坐标与极坐标方程样稿.doc

极坐标及极坐标方程应用

第一个用极坐标来确定平面上点位置是牛顿。她《流数法和无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包含解析几何很多应用，比如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新坐标系。《老师学报》上发表了一篇基础上是相关极坐标文章，。，而且自由地应用极坐标去研究曲线。
在平面内建立直角坐标系，是大家公认最轻易接收而且被常常采取方法，但它并不是确定点位置唯一方法。有些复杂曲线用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上处理平面解析几何问题也变极其简单。经过探究极坐标在平面解析几何中广泛应用，使我们能够清楚认识到，用极坐标来处理一些平面解析几何问题和一些高等数学问题比用直角坐标含有很大优越性，故本文对其进行了初步探讨。
中国外研究动态，不仅在数学理论方面，很多学者对极坐标和极坐标方程做了深入探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深研究。由此看来，极坐标已应用到各个领域。
极坐标系建立
在平面内取一个定点，叫作极点，引一条射线，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度正方向(通常取逆时针方向)。
对于平面内任意一点，用表示线段长度，表示从到角度，叫点极径，叫点极角，有序数对就叫点极坐标。这么建立坐标系叫极坐标系，记作．若点在极点，则其极坐标为=0，能够取任意值。
图1-1 图1-2
图1-2，此时点极坐标能够有两种表示方法：
(1) ＞0，
(2) ＞0，
同理，也是同一个点坐标。
又因为一个角加后全部是和原角终边相同角，所以一个点极坐标不唯一。但若限定， ，那么除极点外，平面内点和极坐标就能够一一对应了。
曲线极坐标方程
在极坐标系中，曲线能够用含有这两个变数方程来表示，这种方程叫曲线极坐标方程。
求曲线极坐标方程方法和步骤：
1°建立合适极坐标系，并设动点坐标为；
2°写出适合条件点集合；
3°；
4°化简所得方程；
5°证实得到方程就是所求曲线方程。
三种圆锥曲线统一极坐标方程：
图1-3
过点作准线垂线，垂足为，以焦点为极点，反向延长线为极轴，建立极坐标系。设是曲线上任意一点，连结，作⊥，⊥，垂足分别为．那么曲线就是集合.
设焦点到准线距离，
得
即
这就是椭圆、双曲线、抛物线统一极坐标方程。其中当初，方程表示椭圆，定点是它左焦点，定直线是它左准线。时，方程表示开口向右抛物线。时，方程只表示双曲线右支，定点是它右焦点，定直线是它右准线。若许可，方程就表示整个双曲线。
极坐标和直角坐标互化
把直角坐标系原点作为极点，轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同长度单位，设是平面内任意一点，其直角坐标，极坐标是，从点作
⊥，由三角函数定义，得.
图1-4
深入有
注：在通常情况下，由确定角时，可依据点所在象限取最小角。
2 极坐标在平面解析几何中应用

解析几何中包含到某定点线段长度时，能够考虑利用极坐标法求解。不过绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出，在求解过程中运算繁琐复杂，将这类问题转化为用极坐标方程求解，十分简练，收到良好效果。巧设极点，建立极坐标系是处理问题关键。

假如题设条件和结论中，包含到过某定点线段长度问题，应该取该点为极点，先将直角坐标原点移动到点，施行平移公式、直角坐标和极坐标互化公式，化一般方程为极坐标方程求解。
例1 设等腰顶角为，高为，在 内有一动点，到三边 距离分别为，而且满足关系，求点轨迹。
图2-1
解: 图2-1所表示,认为极点,∠平分线为极轴,建立极坐标系，设点极坐标为,则
由得
化简得
化成直角坐标方程为
这是认为圆心，认为半径圆，所求轨迹是该圆在等腰内部部分。

假如题设条件或结论中包含到直角坐标系原点线段长度时