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奥数数论基础知识一质数和合数(1)一个数除了 1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。一个数除了 1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。(2)自然数除 0和1外,按约数的个数分为质数和合数两类。任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。要特别记住: 0和1不是质数,也不是合数。(3)最小的质数是 2,2是唯一的偶质数,其他质数都为奇数; 最小的合数是 4。(4)质数是一个数,是含有两个约数的自然数。互质数是指两个数,是公约数只有一的两个数,组成互质数的两个数可能是两个质数(3和5 ), 可能是一个质数和一个合数(3和4 ),可能是两个合数(4 和9)或 1与另一个自然数。(5)如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。(6 )100以内的质数有25个:2、3、5、7、11 、13 、17 、19 、 23、 29 、31 、37 、41 、43 、47 、53 、59 、61 、67 、71 、73 、 79、 83、89、97 . 二整除性(1)概念一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c ,即整数 a除以整除 b(b不等于 0 ),除得的商 c 正好是整数而没有余数(或者说余数是 0 ),我们就说, a 能被 b 整除(或者说 b 能整除 a )。记作 b|a. 否则,称为 a 不能被 b 整除, (或 b不能整除 a),记作 ba。如果整数 a能被整数 b整除, a就叫做 b的倍数, b就叫做 a的约数。(2)性质性质 1:(整除的加减性)如果 a、b都能被 c整除,那么它们的和与差也能被 c 整除。即:如果 c|a,c|b,那么 c|( a±b)。例如:如果 2|10,2|6,那么 2|( 10+6),并且 2|( 10—6)。也就是说,被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。性质 2:如果 b与c的积能整除 a,那么 b与c都能整除 a. 即:如果 bc|a,那么 b|a,c|a。性质 3 :(整除的互质可积性)如果 b、c 都能整除 a ,且 b和c 互质,那么 b 与c的积能整除 a。即:如果 b|a,c|a,且( b,c)=1,那么 bc|a。例如:如果 2|28,7|28,且( 2,7)=1, 那么( 2×7)| 28。性质 4:(整除的传递性)如果 c能整除 b,b能整除 a,那么 c能整除 a。即:如果 c|b,b|a,那么 c|a。例如:如果 3|9,9|27,那么 3|27。(3)数的整除特征①能被 2整除的数的特征:个位数字是 0、2、4、6、8的整数. ②能被 5整除的数的特征:个位是 0或5。突破口③能被 3(或 9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被 3(或 9)整除。判断能被 3(或 9)整除的数还可以用“弃3(或9)法”: 例如:8351746能被9整除么? 解:8+1=9 ,3+6=9 ,5+4=9 ,在数字中只剩7 ,7不是9的倍数, 所以8351746不能被9整除。④能被 4(或 25)整除的数的特征:末两位数能被 4(或 25)整除。⑤能被 8(或 125 )整除的数的特征:末三位数能被 8(或 125 )整除。⑥能被 11 整除的数的特征:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之