复合函数的单调性.ppt

函数的图象变换
常用的图象变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换.
(1)平移变换：
沿y轴向上(b＞0)或
向下(b＜0)平移|b|个单位
y=f(x)
y=f(x)+b
①由y=f(x)的图象变换得到y=f(x+a)的图象，其步骤是：
沿x轴向左(a＞0)或
向右(a＜0)平移|a|个单位
y=f(x+a)
y=f(x)
②由y=f(x)的图象变换得到y=f(x)+b的图象，其步骤是：
左加右减，上加下减
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函数的图象变换
(2)对称变换：
y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称；
　　y=f(x)与y= - f(x)的图象关于x轴对称；
　　y=f(x)与y= -f(-x)的图象关于原点对称；
　　y=f(x)去掉y轴左边图象，保留y轴右边图象;再作其关于y轴对称图象，得到y=f(|x|).
　　y=f(x)保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去，得到y=|f(x) |
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结论1：y＝f(x)(f(x) 恒不为0)，与 的单调
性相反
结论2： y＝f(x)与y＝kf(x)，当k>0时，单调性相同；
当k<0时，单调性相反
结论3：若f(x)与g(x)在R上是增函数，则f(x)+g(x) 也
是增函数
结论4：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减函
数，则f(x)-g(x)是增函数
结论5：若f(x)(其中f(x)>0)在某个区间上为增函数，
则 也是增函数
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复合函数的单调性
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引入
溶液酸碱度的测量.
= －lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
根据对数函数的性质及上述PH的计算公式,说
明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关
系;
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引入
解:根据对数的运算性质，有
根据对数函数的性质及上述PH的计算公式,说
明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关
系;
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例: 已知函数f (x)在R上是增函数，g(x)在[a,b]上是减
函数，求证：f [g(x)]在[a,b]上是减函数.
证明：设x1,x2∈[a,b],且x1<x2
∵g(x)在[a,b]上单调递减
∴g(x1)>g(x2)
∵ f (x)在R上递增
又∵ g(x1)∈R，g(x2)∈R
∴f [g(x1)]>f [g(x2)],
∴f[g(x)]在[a,b]上是减函数
引入
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2、复合函数的单调性的规律
y=f (u)
增
减
u=g(x)
增
减
增
减
y=f [g(x)]
增
增
减
减
结论：同增异减
新课讲解
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例2、求函数 的单调区间
方法总结：
1、求复合函数的定义域
2、求u=g(x)的单调区间，判断
y=f (u)的单调性
3、利用“同增异减”下结论
答案： 单调减区间：(-∞，-3]
单调增区间：[2，+∞)
注意：复合函数y=f [g(x)]的单调区间必然是其定义域的子集
例题讲解
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例3、求函数 的单调区间
例题讲解
求函数 的单调区间
求函数 的单调
区间
答案： 单调减区间：
单调增区间：
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