一阶线性差分方程的解法分析.doc

1 高中数学新课标选修内容“一阶线性差分方程”的解法分析江西省高中数学课程标准研究组舒昌勇( 341200 ) 在高中数学新课标选修系列 4的“数列与差分”专题中,一阶常系数线性差分方程 x n+1 =kx n +b (1) 是讨论的重点,其一般形式为 x n+1 =kx n+ f(n) (2) 其中 k 为已知的非零常数, f(n) 为n f(n) ≠0 时,方程( 2 )称为非齐次的, f(n) =0 时,方程 x n+1 =kx n (3) 称为齐次的, 并称(3)为(2) 相应的齐次方程. 方程(1) 是方程(2)当 f(n) 为常数的情况,是方程( 2 )能用待定系数法求特解时所具有的几种特殊形式里最简单的一种. 我们来讨论方程( 1 )和( 3 )通解的求法. 1 求一阶齐次差分方程 x n+1 =kx n 的通解用迭代法,给定初始值为 x 0 ,则一阶齐次差分方程 x n+1 =kx n 的通解为 x 1= kx 0,x 2 =kx 1 =k 2x 0,x 3 =kx 2 =k 3x 0,…, 一般地,有 x n= kx 0-1= k(k n-1x 0 )=k nx 0,n=1,2,…, 由于 x 0 表示初始值,可任意给定,所以可视其为任意常数,不妨用 c : 如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常数,则为其通解,故一阶线性齐次方程 x n+1 =kx n 的通解可表为 x n =k nc(c 为任意常数) . 对于每一个任意给定的初始值 x 0 ,都能得到方程相应于该初始值的一个特解. 而求特解只要将给定的初始值 x 0 代入通解求出待定常数 c 即可. 2 求一阶非齐次差分方程 x n+1 =kx n +b 的通解 探索一阶非齐次差分方程 x n+1 =kx n +b 通解的结构设数列﹛y n ﹜,﹛ z n﹜为方程( 3 )的任意两个解,则 y n+1=ky n +b (4) z n+1=kz n +b (5) (4) - (5) 得y n +1-z n +1=k(y n-z n) 这意味着一阶非齐次线性差分方程任意两个解的差为相应齐次差分方程的解. 从而,若 a n 为非齐次方程( 3 )的任意一个解, b n 为非齐次方程( 3 )的一个特解,则 a n -b n ,我们对它的任意一个解 a n 作适当变形: a n =a n +b n-b n=b n +(a n-b n) 这表明, . 求一阶非齐次差分方程( 3 )的通解①用迭代法,设给定的初始值为 x 0 ,依次将 n=0 ,1,2,…代入( 3) ,有 x 1 =kx 0 +b x 2 =kx 1 +b=k(kx 0 +b)+b =k 2x 0 +b(1+k) x 3 =kx 2 +b= k[k 2x 0 +b(1+k)]+b= k 3x 0 +b(1+k+k 2) …… x n =k nx 0 +b(1+k+k 2+…+k n-1)2 ⅰ)当 k≠1时, 1+k+k 2+…+k n-1