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可靠性数学基础知识
重庆大学周家启
集合与事件
概率是事件的一定属性，事件可以通过集合（简称“集”）来描述。因之在研究概率之前，讨论一下集合的基本概念。
集合的定义和符号
具有某种规定性质的事物的总体称为集（合）。组成集合的这些事往往是在一定条件下进行试验或现场观测，将其结果记录下来，作为研究和推断的依据。按原始形式收集的观察记数或试验的测量记录，一般称为原始数据。在统计学中常用“实验”一词来统称产生原始数据的过程。
抛掷硬币观察其出现正面或反面的现象，是最常用的统计实验例子。气象观测、水文观测、电站运行记录、产品质量检验记录等，也都是生产和科研工作中的统计实验方法。
通常将一个给定条件的统计实验中所有可能结果的总和称为“样本空间”，或者用集合的术语描述为：一个项统计记录的全部可能结果的集合称为样本空间，并常用S表示。
例6将一枚硬币抛掷两次，可能出现的全部结果是，｛正，正｝，｛正，反｝，｛反，正｝，｛反，反｝，则样本空间
S=｛｛正，正｝，｛正，反｝，｛反，正｝，｛反，反｝｝
例7在足够长的统计时期内，“一年出现1次故障”的全部可能结果，
即其样本空间
S=｛0,1,2,3,・T

事件总是与某些实验的结果相关联,理论研究中一般作出以下假设：
在相同条件下重复进行；
实验的结果可能不只一个；
不可能预先判定每一次实验将出现的结果。
工程研究中的事件一般都可以用集合来描述为：样本空间中的一个子集称为事件。
例8设某种电子元件使用寿命的样本空间为S=｛11>o｝,式中t为
该元件的寿命,则
A={11<5}是该元件寿命等于或小于5年的事件。
为研究和叙述问题方便，还常常定义以下事件：如果一个事件只包含样本空间集合中的一个元素，则称这个事件为基本事件，或简单事件；如果一个事件在某个实验中一定会发生，则称这个事件为必然事件；如果一个事件在某个实验中一定不会发生，则称这个事件为不可能事件；如果一个事件在某个实验中可能发生也可能不发生，则称这个事件为随机事件。概率论就是研究随机事件规律的一门数学分支。
例9在对电网的事故统计中，如果说，“某一条供电线路一年内可能发生故障的所有次数”，则这是一个必然事件；如果说，“某一条供电线路一年内发生2次故障”，则这是一个不可能事件；如果说，“某一条供电线路一年内发生1次故障”，则这是一个随机事件。
为了能更易于理解所要讨论的问题，可利用图形来对概念进行描述。通常所用的是一种所谓的凡恩图。
凡恩图通常画成一个矩形来表示全部样本空间S,如图1所示。面积S包含了要讨论的整个空间，其中可能存在着两个或两个以上的事件。图1是只包含两个事件A和B的特殊情况。如果事件A被完全包含在事件B中（可用符号AuB表示），则事件A由属于事件B,且只由属于事件B的元素构成，如图1a所示。一般的关系则是部分重合（图1b）或者完全不重合（图1c）。
图1凡恩图
事件既然可以用集合来描述，则前述其集合的基本组合规则完全适用于事件的运算。
概率基本概念
定义
概率是一种科学的“机会测度”，它从定量的角度定义了事件发生的可能性。
这种测度在不可能事件的零概率值和必然事件的1概率值之间的范围内取值。

如果某一试验的全部可能结果为n个，且每个结果都具有等可能性和互不相容性，而其中对应于A的结果是
m个，则事件A发生的概率为
P(A)=m⑴
n
例10有50件产品，合格品数是48件，令从这批产品中“任取一件是合格品"为事件A,则在这批产品中任取一件是合格品的概率为
P(A)=48/50=96%
此外，由于必然事件包括了所有基本事件，设其用U表示，则可用概率的观点作如下解释：
n
P(U)=-=1
n而不可能事件不包含任何基本事件，设其用V表示，也可用概率的观点作如下解释：
P(V)=0=0
-
随机事件A所含基本事件数m必然满足不等式0WmWn,所以
OWP(A)W1
概率的统计定义
由概率的古典定义可见，它要求事件数是有限的，且要求事件的发生是等可能的。但许多实际问题不具备这种性质。例如英文书籍中26个字母出现的可能性就很不相同，字母“e”就比字母“z”出现的可能性大得多。又如某流域的年降雨量可以取某一区间的任意实数值，这就不能满足有限结果的要求。但是这些事件仍有其本身的规律性。只要进行大量重复的试验，就会发现许多随机事件是随着试验次数的不断增加而趋近于某一稳定值。由此可引入概率的统计定义。
设n次重复试验中，事件A出现f次，则称f为事件A出现的频数，称f.-为事件A出现的频率：
定义：当试验次数n足够大时，事件A出现的频率渐趋于一个稳定值P(A)，则称这一稳定值P(A)为事件A发生的统计概率，记