柯西不等式求最值.doc

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柯西不等式求最值
1. 设a、b、c为正数，求的最小值
【答案】121
，y，z Î R，且满足x2 + y2 + z2 学习必备 欢迎下载
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柯西不等式求最值
1. 设a、b、c为正数，求的最小值
【答案】121
，y，z Î R，且满足x2 + y2 + z2 = 5，则x + 2y + 3z之最大值为　　　　　
解(x + 2y + 3z)2 £ (x2 + y2 + z2)(12 + 22 + 32) = 5．14 = 70
∴　x + 2y + 3z最大值为
，y，z Î R，若x2 + y2 + z2 = 4，则x - 2y + 2z之最小值为　　　　　时，(x，y，z) = 　　　　　
解(x - 2y + 2z)2 £ (x2 + y2 + z2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = 4．9 = 36
∴　x - 2y + 2z最小值为 - 6，公式法求 (x，y，z) 此时
∴　，，
，，试求的最大值M与最小值m。
答：根据柯西不等式

即
而有
故的最大值为15，最小值为–15。
，试求之最小值
即
将代入其中，得 而有
故之最小值为4。
变形：.设x，y，z Î R，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值为
[2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)]2 £ [(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2]．(22 + 22 + 12)
Þ　(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 ³= 9
, y, zR，若，则之最小值为________，又此时________
　∴最小值
　　　
　　　∴　　　∴
, b, c均为正数，且，则之最小值为________，此时________。
解：
　　　∴，最小值为18 等号发生于 故
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　　　∴　又 ∴
, y, zR，若，则之范围为何？又发生最小值时，？
答案：　
　　　
若又∴
∴　∴
，y，z Î R且，求x + y + z之最大值，最小值。
Ans 最大值7；最小值 - 3
【解】
∵　
由柯西不等式知
[42 + ()2 + 22] ³
　Þ　25 ´ 1 ³ (x + y + z - 2)2　Þ　5 ³ |x + y + z - 2|
Þ　- 5 £ x + y + z - 2 £ 5　∴　- 3 £ x + y + z £ 7
故x + y + z之最大值为7，最小值为 - 3
11.（2008南开）设为正数，且求的最小值.
【答案】由柯西不等式
，求的最大值.
【答案】解