高中数学破题致胜微方法（函数图象识别与简单变换）：10.平面直角坐标系的伸缩变换 Word版含答案.doc

之前的课程中,我们研究过函数图象的伸缩变换,今天我们来研究平面直角坐标系的伸缩变换,我们要注意变换过程,以及变换前后图形的形状,以及它与函数图象的伸缩变换有什么不同? 先看例题在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 2{3 x x y y ????后的图形(1)2 3 0 x y ? ? 2 2 (2) 1 x y ? ?对于 2 3 0 x y ? ?,在平面直角坐标系中,对应一条直线直线过原点,且斜率为 23 ?对于 2 2 1 x y ? ?,在平面直角坐标系中,对应一个圆圆心为(0,0) ,半径为 1 接下来做伸缩变换, 首先改写 2{3 x x y y ????为12{13 x x y y ????将x,y 代入直线方程,则得到: 0 x y ? ?? ?它也是一条直线,且仍过原点同理,将 x,y 代入圆的方程 2 2 1 4 9 x y ? ?? ?所以圆变为椭圆。注意: 直线变成直线,圆可以变成椭圆。一般规律: 平面直角坐标系的伸缩变换定义:设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换( 0) { ( 0) x x y y ? ??? ??? ? ??? ? ?: 的作用下, 点P(x,y) 对应点 P '(x ',y ') ,称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换注意:一般取, 0 ???。且参数可以, 1 ???,也可以在 0 , 1 ??? ?之间。接下来我们再看一个习题,加深印象。练:设曲线 2x 2 +2 xy+y 2 =1 在伸缩变换, x ax y bx y ?????? ??(a >0) 下得到的曲线为 x 2+y 2 =1. 求实数 a,b 的值; 解: 从我们熟悉的曲线出发,变换以后的曲线为一个圆 2 2 1 x y ? ???注意: 此时应该是关于', ' x y 的方程,因为书写方便,所以题干中写作 x 2+y 2 =1 将x,y 代入圆的方程,得: ???? 2 2 2 2 2 2 2 1, 2 1 a x bx y a b x bxy y ? ?? ????整理得 2 2 2, 2 2, a b b ?? ????解得:11 ab ?????总结: 1. 伸缩变换的特点( 0) x x y y ? ??? ??????, 曲线上所有的点的纵坐标不变,横坐标变为原来的?倍。( 0) x x y y ? ??????? ??曲线上所有的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的?倍。