《固体物理学》.doc

《固体物理学》典型均每对离子的相互作用能为其中马德隆常数 a= , n= 9, 平衡离子间距 r0= Ǻ. (1) 试求离子在平衡位置附近的振动频率。(2) 计算与该频率相当的电磁波的波长。解:(1 )在平衡位置 0 12 2rr nrrr nr aq dr dU 10 2 nrn aq 离子间的相互作用力 102 212 21 nnr rr aq r nr aq dr dU F 设 30 210 2020 2)1( )1(r aq nr rnr aq F n n谐振动的频率这里所以qrmm mmna 3021 21) )(1((2 )相应的电磁波的波长/2c 2 .设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的长波极限 20)( Aq q求证:频率分布函数为 nrraq rU//)( 2 0rr)( 0 rm k 2 30 2)1(r aq nk  21 21mm mmm2/102/32)( 14 )(A Vf)( 0 0)(f )( 0证明:频率分布函数)( )2( )( 3q ds Vf q由于且等频面为球面 2/10A q 所以 3 .有 N 个相同原子组成面积为 S 的二维晶格,在德拜近似下计算比热,并论述在低温极限比热正比于 T2 。解:在二维情况下,对于某一确定的波数,存在一个纵波和一个横波在q 空间的面积元 ds= dqxdqy 中格波的数目为在到+d 内纵波和横波的数目分别为 dc Sqdq S l 222 2)2(  dc Sqdq S t 222 2)2( 频率分布函数为 22 )(c Sg其中222111  Aq dq d2/0 )(4 42 4)2( )( 2/102/32 2 23A V qA V Aq qVf)( 0)( 0qc lqc tds S 2)2(Ndc Sdg  00 222 )( 可得晶体的热容 Tkm B Tk TkBBVde eTkRde eTkc SkTC  0 /0 2 3 22 / / 22)1( 4)1(2 )( 其中在低温极限下 20 2 3 2)1( 4)/(Tde eTRTC D DV 4 .写出量子谐振子系统的自由能,证明在经典极限下自由能为 qB qBTk TkUF  ln 0 证明: 量子谐振子系统的自由能j TkB qBeTk TkUF /1 ln( 2 经典极限即 qB qB qqB qBqTk TkUTk TkUF  ln ln2 1 0 5. 一个全同原子组成的平面正方格子。用表示第 l 行,第 m 列的原子垂直于格平面的位移,原子质量为 M ,最近邻原子的间距为 a, 力常数为 c。(a) 证明运动方程为(b) 设解的形式为证明运动方程是可以满足的,且色散关系为(c) 证明独立解存在的波矢空间区域是一个边长为 2/a 的正方形,即正方格子的第一布里渊区。画出 k=k x,k y=0 时,以及 k x=k y 时的色散曲线。 2/1)/(8SNc m B Nk RTk B/ BmDk/ qBTkTke Bq Tk/1 /mlu , )]2()2 [( ,1,1,,,1,12 , 2mlmlmlmlmlml mluuuuuucdt udM)]( exp[ )0( ,ta mk a lkiuu yxml) cos cos 2( 2 2akakM c yx(d) 当k x和k y 很小时,证明证明: (a) 只考虑最近邻原子的相互作用时,原子在垂直于格平面方向上所受的力为四个最近邻原子的合力,因此运动方程为(b) 设解的形式为代入运动方程有(c) 由于二维正方格子的倒格子仍为正方格子, 且倒格子基矢为2 /a. 当k= kx, ky=0 时, 当k x=k y时(d) 当k x和k y 很小时,利用近似关系 kM ca kkM ca yx 222 2)(l l-1 l+1 m m+ 1 m- 1aa )]2( )