圆切线证明题.doc

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1、证切线---------------
90
°(垂直)
2、有90°------------------
证全等
3、有⊥------------------
证∥,错过来
4、利用角+角=90°
关注:等腰(等边)三线合一;中位线;直角三角形
1(2011中考).如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E,(1)求证:PB为⊙O的切线;
已知⊙O中,AB是直径,过B点作⊙O的切线,连接CO,若AD∥OC交⊙O于D,求证:CD是⊙O的切线。
如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M求证:DM与⊙O相切.
D
4(2008年厦门市)已知:如图,中,,认为直径的交于点,于点.
(1)求证:是的切线;
5已知:如图⊙O是△ABC的外接圆,P为圆外一点,PA∥BC,且
⊙0于另一点D,连接CD.
(1)试判断直线PA与⊙0的地点关系,并证明你的结论.
(2)当AB=13,BC=24时,求⊙O的半径及CD的长.

A为劣弧的中点,割线

PBD过圆心,交
6如图,点B、C、D都在半径为6的⊙O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连接CD,已知∠CDB=∠OBD=30°.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)求弦BD的长;(3)求图中暗影部分的面积.
7.(2010北京中考)已知:如图,在△ABC中,D是AB边上一点,圆O过D、B、C三点,DOC=2ACD=90。
求证:直线AC是圆O的切线;
假如ACB=75,圆O的半径为2,求BD的长。
8、(2011?北京)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
已知⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB的延长线上,连接AP交⊙O于D,过D作⊙O的切线CE交OP于C,求证:PC=CD。
(2013年广东省9分)如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC
交DC的延长线于点E.
(1)求证:∠BCA=∠BAD;(3)求证:BE是⊙O的切线。
11(7分)(2013?珠海)如图,⊙O经过菱形ABCD的三个极点A、C、D,且与AB相切于点A
1)求证:BC为⊙O的切线;
2)求∠B的度数.
细说如何证明圆的切线
5、证切线---------------
90
°(垂直)
6、有90°------------------
证全等
7、有⊥------------------
证∥,错过来
8、利用角+角=90°
关注:等腰(等边)三线合一;中位线;直角三角形
1(2011中考).如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E,(1)求证:PB为⊙O的切线;
已知⊙O中,AB是直径,过B点作⊙O的切线,连接CO,若AD∥OC交⊙O于D,求证:CD是⊙O的切线。
点悟:要证CD是⊙O的切线,须证CD垂直于过切点D的半径,由此想到连接OD。
证明:连接OD。
∵AD∥OC,
∴∠COB=∠A及∠COD=∠ODA
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD
∴∠COB=∠COD
∵CO为公用边,OD=OB
∴△COB≌△COD,即∠B=∠ODC
BC是切线,AB是直径,∴∠B=90°,∠ODC=90°,∴CD是⊙O的切线。
点拨:辅助线OD构造于“切线的判判定理”与“全等三角形”两个基本图形,先用切线的性质
定理,后用判判定理。
如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M
求证:DM与⊙O相切.
D
3(2008年厦门市)已知:如图,中,,认为直径的交于点,于点.
1)求证:是的切线;
2)若,求的值.
1)证明:,
又,
又于,,
是的切线
4已知:如图⊙O是△ABC的外接圆,P为圆外一点,PA∥BC,且
⊙0于另一点D,连接CD.
(1)试判断直线PA与⊙0的地点关系,并证明你的结论.
(2)当AB=13,BC=24时,求⊙O的半径及CD的长.

A为劣弧的中点,割线

PBD过圆心,交
如图,点B、C、D都在半径为6的⊙O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连接CD,已知∠CDB=
OBD=30°.
求证:AC是⊙O的切线;
求弦BD的长;
求图中暗影部分的面积.
5.(2010北京中考)已知:如图,在△ABC中,D是AB边上一点,圆O过D、B、C三点,DOC=2ACD=90。
求证:直线AC是圆O的切线;
假如ACB=75,圆O的半径为2,求BD的长。
6、(2011?北京)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB的延长线上,连接AP交⊙O于D,过D作⊙O的切线CE
交OP于C,求证:PC=CD。
点悟:要证PC=CD,可证它们所对的角等,即证∠

P=∠CDP,又

OA⊥OB,故可利用同角(或等
角)的余角相等证题。
证明:连接OD,则OD⊥CE。
∴∠EDA+∠ODA=90°
∵OA⊥OB
∴∠A+∠P=90°,
又∵OA=OD,
∴∠ODA=∠A,∠P=∠EDA
∵∠EDA=∠CDP,
∴∠P=∠CDP,∴PC=CD
点拨:在证题时,有切线可连接切点的半径,利用切线性质定理获得垂直关系。
7(2013年广东省9分)如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC
交DC的延长线于点E.
1)求证:∠BCA=∠BAD;
2)求DE的长;
3)求证:BE是⊙O的切线。
【答案】解:(1)证明:∵BD=BA,∴∠BDA=∠BAD。
∵∠BCA=∠BDA(圆周角定理),
∴∠BCA=∠BAD。
2)∵∠BDE=∠CAB(圆周角定理),∠BED=∠CBA=90°,
∴△BED∽△CBA,∴BDDE。
ACAB
BD=BA=12,BC=5,∴依据勾股定理得:AC=13。
∴12
DE,解得:DE
144
。
13
12
13
(3)证明:连接OB,OD,
在△ABO和△DBO中,∵

AB
BO
OA

DBBOOD

,
∴△ABO≌△DBO(
∴∠DBO=∠ABO。

SSS)。
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC,∴∠DBO=∠BDC。∴OB∥ED。
∵BE⊥ED,∴EB⊥BO。∴OB⊥BE。
∵OB是⊙O的半径,∴BE是⊙O的切线。
8.(7分)(2013?珠海)如图,⊙O经过菱形ABCD的三个极点A、C、D,且与AB相切于点A(1)求证:BC为⊙O的切线;
(2)求∠B的度数.
考点:切线的判断与性质;菱形的性质.
481324
解析:(1)连接OA、OB、OC、BD,依据切线的性质得
OA⊥AB,即∠OAB=90°,再依据菱形
的性质得BA=BC,而后依据“SSS”可判断△
ABC≌△CBO,则∠BOC=∠OAC=90°,于是
可依据切线的判断方法即可获得结论;
(2)由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB,则∠AOB=∠COB,因为菱形的对角线均分对角,
因此点O在BD上,利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD,则∠BOC=2∠ODC,
因为CB=CD,则∠OBC=∠ODC,因此∠BOC=2∠OBC,依据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠
OBC=30°,而后利用∠ABC=2∠OBC计算即可.
解答:(1)证明:连接OA、OB、OC、BD,如图,
∵AB与⊙切于A点,
OA⊥AB,即∠OAB=90°,∵四边形ABCD为菱形,
BA=BC,
在△ABC和△CBO中
,
∴△ABC≌△CBO,
∴∠BOC=∠OAC=90°,
OC⊥BC,
BC为⊙O的切线;
2)解:∵△ABC≌△CBO,
∴∠AOB=∠COB,
∵四边形ABCD为菱形,∴BD均分∠ABC,CB=CD,
∴点O在BD上,
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD,而OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,∴∠BOC=2∠ODC,而CB=CD,
∴∠OBC=∠ODC,
∴∠BOC=2∠OBC,
∵∠BOC+∠OBC=90°,
∴∠OBC=30°,
∴∠ABC=2∠OBC=60°.
评论:本题观察了切线的判断与性质:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线;.
(19)(08长春中考试题)在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,AC=4,则它的内切圆半径是(B)
.