有理数简便运算技巧.docx

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有理数简略运算技巧(十五法)
有理数是代数的入门,又是难点,是中学数学中全部运算的基础。进行有理
数的运算时,若能依据题目的特色,注意采纳运算技巧,不仅好化繁为简,并且
会妙趣横生,新奇奇特。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类
将同类数(如正数或负数)归类计算。
例1计算:
2
31
3
2
4。
解:原式
3
1
2
2
3
4
9
3。
三、抵消
将相加得零的数结合计算。
例3
计算:5
4
6
4
3
3
2
。
原式
4
4
5
3
2
6
3
009
。
五、分解
将一个数分解成两个或几个数之和的形式,或
分解为它的因数相乘的形式。
例5
计算:21
51
41
31
。
4
2
3
6

二、凑整
将和为整数的数结合计算。
例2计算:。解:
1002282
82
40。
四、组合
将分母同样或易于通分的数结合。
例4计算:。
解:原式
125
5
5
25
1011
6
24
9
18
75
131
8
6
513
。
24
原式
254
3
1
1
1
1
4
2
3
6
3
6
4
2
2
12
12
12
12
1-1-
1
22
1212
六、转变
将小数与分数或乘法与除法互相转变。
例6:计算:例8计算:
11
2
1212
七、变序
运用运算律改变运算次序。
例8计算:

31
4

5
解:原式

4
31

5
13131
八、约简
将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。



31
4

5
解:原式

4

31
5
1
31
。
31
。
。
解:原式
8
8
8
15
5
9
15
8
8
15
8
15
8
15
5
8
9
8
15
8
3
5
1
3
1
。
3
九、逆用
2
22
8
13

。
正难则反,逆用运算律改变次序。
5
5
21
4
例11
计算:
解:原式
2
5
8
7
1
5
12
21
4
4
2-2-

2
1
8
1
1
1
3
4
3
4
4
。
4
128
1
433
十、观察
依据0、1、
1在运算中的特征,观察算式特色找寻运算结果为
0、1或
1的部分优先计算。
例12
计算:
1
1
3
2009
。
2009

1
6
4

33
2009
1。
解:
0,1
4
原式
0
1
1。
十一、变量替代
经过引入新变量转变命题结构,这样不仅可以减少运算过程,还有益于找寻接题思路,
此中的新变量在解题过程中起到桥梁作用.
1
2
6
1
7
3
9
2
例6
计算
4
3
96
21
×+7
5).

(71
32)
71
32
4
3
7
5
4
3
解:设a=
71
32,b=
,c=96
21,则
4
3
7
5
71
32
96
21
(71
4
3
96
×+
7
5
)

32)
21
71
32
4
3
7
5
4
3
=
a
×(b+c)
ab
c
a
=
a
×ab
c
ab
c
a
1.
评析:此题横看纵看都显得比较复杂,但若仔细观察,整个式子可分为三个部分:
71
32
,,96
21
,所以,采纳变量替代就大大减少了计算量.
4
3
7
5
十二、倒序相加
3-3-

在理多式的加减乘除运算,常依据所求式构,采纳倒序相加减的方法把
化.
例8
算1
+(
1+2)+(
1+2
+3)+(1
+2
+3
+4)+⋯+(
1
+2+⋯+
2
3
3
4
4
4
5
5
5
5
60
60
+59).①
60
解:把①式括号内倒序后,得:
+(2+1)+(3+2+1)+(4+3+2+1)+⋯+(59+58+⋯+2+1),
233444555560606060
②
①+②得:1+2+3+4+⋯+58+59=1770,
∴1+(1+2)+(1
+2
+3)+(
1+2+3
+4)+⋯+(
1
+2
+⋯+58
+59)
2
3
3
4
4
4
5
5
5
5
60
60
60
60
1(1770)=885.
2
析:然,此是不可以“硬算”的,倒序相加可提升运算速度,降低复程度.
十三、添数配
例9算11+192+1993+19994+199995+1999996++8+99.
解:添上9+8+7+6+5+4+3+2+1,挨次与各数配相加,得:
11+192+1993+19994+199995+1999996++8+99.
20+200+2×103+2×104+⋯+2×109-(9+8+7+6+5+4+3+2+1)
20-45
75.
析:添数配上也是一种凑整运算.
十四、整体元
于复的算式直接运算很困,若能抓住其特色,运用整体运算的思,造性地
加以解决,就能收到事半功倍的成效.
例10算1-1+1-1+1-1+1-1+1.
248163264128256
解;1-1
+1
-1+1
-1+1
-1
+
1=x,①
2
4
8
16
32
64
128
256
①×(-1),得-1+1
-1+1-1+1
-1+1-1
=-1x,②
2
2
4
8
16
32
64
128
256
512
2
4-4-

①-②,得1+1
=
3x,解得x=
171,故
512
2
256
1-1+1-1
+1-
1+1-
1
+1
=171
.
2
4
8
16
32
64
128
256
256
十五、分搭配
察所求算式特色,奇妙运用分搭配理,可以化运算.
例7算:2-3-4+5+6-7-8+9⋯+66-67-68+69.
解:2-3-4+5+6-7-8+9⋯+66-67-68+69
=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+⋯+(66-67-68+69)=0+0+0+⋯+0
=0.
析:种分运算的程,上是奇妙地添括号或去括号.
5-5-