全等三角形证明方法.doc

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全等三角形证明方法
全等三角形证明方法
全等三角形的证明方法
一、三角形全等的判断:
(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS);
(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);
(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);
(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS);
(5)直角三角形全等的判断:斜边及向来角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).
二、全等三角形的性质:
1)全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等;
2)全等三角形的周长相等、面积相等;
3)全等三角形的对应边上的高对应相等;
4)全等三角形的对应角的角均分线相等;
5)全等三角形的对应边上的中线相等;
三、找全等三角形的方法:
(1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中;
2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确立哪两个三角形相等;
3)从条件和结论综合考虑,看它们能一起确立哪两个三角形全等;
(4)若上述方法均不可以,可考虑增添协助线,结构全等三角形。三角形全等的证明中包括两个因素:边
和角。
①踊跃发现隐含条件:
公共角对顶角公共边
②察看发现等角等边:
等边同样角同角的余角相等同角的补角相等
等角同样边等角的余角相等等角的补角相等
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③推剪发现等边等角:
图1:平行转变图2:等角转变图3:中点转变
图4:等量和转变图5:等量差转变图6:角均分线性质转变
图7:三线合一转变图8:等积转变图9:中垂线转变图10:全等转变
图11:等段转变
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四、结构协助线的常用方法:
1、对于角均分线的协助线:
当题目的条件中出现角均分线时,要想到依据角均分线的性质结构协助线。
角均分线拥有两条性质:①角均分线拥有对称性;
②角均分线上的点到角两边的距离相等。
对于角均分线常用的协助线方法:
(1)截取结构全等:
以下左图所示,OC是∠AOB的角均分线,D为OC上一点,F为OB上一点,若在OA上取一点E,使得OE=OF,并连结DE,则有△OED≌△OFD,进而为我们证明线段、角相等创办了条件。
例1、如上右图所示,AB//CD,BE均分∠BCD,CE均分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。提示:在BC上取一点F使得BF=BA,连结EF。
(2)角分线上点向角两边作垂线结构全等
利用角均分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。以下左图所示,过∠AOB的均分线OC上一点D
向角两边OA、OB作垂线,垂足为E、F,连结DE、DF。则有:DE=DF,△OED≌△OFD。
例2、如上右图所示,已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180°
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(3)作角均分线的垂线结构等腰三角形。以下左图所示,从角的一边OB上的一点E作角均分线OC的
垂线EF,使之与角的另一边OA订交,则截得一个等腰三角形(△OEF),垂足为底边上的中点D,该角平
分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。假如题目中有垂
直于角均分线的线段,则延伸该线段与角的另一边订交,进而获得一个等腰三角形,可总结为:“延分垂,等腰归”。
例3、如上右图所示,已知∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD于D,H是BC中点。求证:DH1(ABAC)
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提示:延伸CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证。
例4、已知,如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90o,∠1=∠2,CE⊥BD的延伸线于E,
求证:BD=2CE
提示:延伸CE交BA的延伸线于点F。
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4)作平行线结构等腰三角形①以下左图所示,过角均分线
②以下右图所示,经过角一边于点H,进而结构等腰三角形

作平行线结构等腰三角形分为以下两种状况:
OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE,进而结构等腰三角形ODE。
OB上的点D作角均分线OC的平行线DH与其余一边AO的反向延伸线订交
ODH。
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2、由线段和差想到的协助线:
1)碰到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:①截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,此后证明剩下部分等于另一条;
②补短:将一条短线段延伸,延伸部分等于另一条短线段,此后证明新线段等于长线段。例1、在△ABC中,AD均分∠BAC,∠ACB=2∠B,求证:AB=AC+CD。
B

A
DC
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(2)对于证明有关线段和差的不等式,平常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,
故可想方法将某些线段转变到一个三角形中证明。在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接
证不出来,可连结两点或廷长某边组成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明。
例2、已知如图,D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.
3)在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连结两点或延伸某边,结构三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的地点上,小角处于这个三角形的内角地点上,再利用外角定理:
例3:如图:已知D为△ABC内的任一点,求证:∠BDC>∠BAC
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3、由中点想到的协助线:
在三角形中,假如已知一点是三角形某一边上的中点,那么第一应当联想到三角形的中线加倍延伸中线及其有关性质(等腰三角形底边中线性质),此后经过研究,找到解决问题的方法。
(1),AD是ABC的中线,则SABDSACD1SABC(由于ABD与ACD是等底同高的)。
2
图1图2
2)倍长中线,如图2,已知中点、中线问题应想到倍长中线,由中线的性质可知,一条中线将中点所在的线段均分,可获得一组等边,经过倍长中线又可获得一组等边及对顶角,因此可以获得一组全等三角
形。如图,延伸AD到E,使得AD=AE,连结BE。
例1、如图3,已知ABC中,AD是∠BAC的均分线,AD又是BC边上的中线。求证:ABC是等腰三角
形。
4、考证中点、中线问题,应结构平行线,如图,过B作BE平行AC交AD延伸线于E.
例1、如图3,在等腰△ABC中,AB=AC,在AB上截取BD,在AC延伸线上截取CE,且使CE=
:DF=EF.
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5、其余协助线作法:
1)延伸已知边结构三角形在一些求证三角形问题中,延伸某两条线段(边)订交,组成一个关闭的图形,可找到更多的相等关系,有助于问题的解决.
例1、如图4,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,BD为∠,求BE的长.
例2、已知:如图,AC=BD,AD⊥AC,BC⊥:AD=BC.
(2)连结四边形的对角线,把四边形的问题转变成为三角形来解决
.
A
例3、如图,AB∥CD,AD∥BC
求证:AB=CD
D
BC
(3)取线段中点结构全等三有形.
例4、如图,AB=DC,∠A=∠D求证:∠ABC=∠DCB.
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