二次根式及其有意义条件.docx

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编稿老师徐文涛一校杨雪二校黄楠审查隋冬梅
【考点精讲】
看法
二次根式表示方法
有意义的条件
1.
二次根式:一般地,我们把形如
a(a≥0)的式子叫做二次根式,此中“
”称为
二次根号,“a”叫做被开方数。
2.
当a>0时,
a表示a的算术平方根,所以
a>0;
当a=0时,
a表示0的算术平方根,所以
a=0。
这就是说,
a(a≥0)是一个非负数。
【典例精析】
例题1以下各式中,是二次根式的有()
10,x2
3,315,
,5




思路导航:
3
15的根指数为
3;
5的被开方数是负数,所以不是二次根式;
10,
x2
3,
吻合二次根式的条件,所以是二次根式的有
3个。
答案:C
评论:二次根式一定满足两个条件:①根指数为2;②被开方数为非负数。这两个条件缺一不行。利用这两个条件逐个判断即可。
例题2
当x取何值时,以下各式在实数范围内有意义
(1)
(x3)2
;(2)43x;(3)
1
x1
思路导航:要使被开方数有意义,则被开方数一定是非负数,
假如分母中有根式,
那么
被开方数一定是正数,由于零不可以作分母。
答案:解:(1)由于(x-3)2≥0,所以无论x取任何实数,
(x
3)2都有意义;
(2)若
43x有意义,则必有4-3x≥0,即当x≤4时,
4
3x有意义;
3
(3)若
1
有意义,则必有
x-1>0,即当x>1时,
1
有意义。
x1
x
1
评论:本题观察了二次根式及分式有意义的条件。用到的知识点:要使分式有意义,分母不可以为0;二次根式的被开方数是非负数。本题应注意在求得取值后应消除不在取值范围内的值。
例题3已知x、y为实数,y=
x2
4
4x2
1,试求3x+4y的值。
x2
思路导航:根号内是非负数,分母不为
0来综合考虑,获取相应的未知字母的值。
x2
4
0
2
是原式分母,
答案:解:依题意得
x2
,所以x=4,所以x=±2,又由于x-2
4
0
所以x-2≠0,所以x≠2,所以x=-2,此时,y=-1,所以3x+4y=3×(-2)+4×(-1
)
4
4
=-7。
评论:用到的知识点为:互为相反数的两个数都是被开方数,那么这两个数都为
0。
【总结提高】
正确理解二次根式的看法,要注意以下几点:
(1)二次根式的看法是从形式上界定的,一定含有二次根号,如
3
,
9,
。
(2)“
”的根指数为2,即“2
”,我们一般省略根指数
2,比方2
5写作
5,
而3
5不是二次根式,所以
35不可以写作
5。
2.
需要掌握三个拥有非负性的式子:①a
2≥0;②|a|≥0;③
a≥0(a≥0)。
比方:x
1+(y-1)2+|z|=0,
x
1=0,(y-1)2=0,|z|=0,则x=-1,y=1,z=0。
2
2
3.
假如将公式
a
a(a≥0)逆用,即a
a(a≥0),就可以把一个非负数写
成一个数的平方的形式。比方:3
2
,a
b
a
2
3
b。(a-b≥0)
a2
a2
2
这一公式常用在因式分解中,如:
5
5
(a
5)(a
5)。
(答题时间:20分钟)
1.
以下式子中,是二次根式的是(
)
A.-
7B.
37C.
xD.
x
2.
要使
a是二次根式,则应满足的条件是(
)
b
≥0且b≥0
≥0且b>0
>0
D.
a≥0且b≠0
b
1
b
3.
函数y
中自变量的取值范围在数轴上表示为(
)
x2
A.
B.
C.
D.
4.
使式子
(x5)2
有意义的未知数x有()个



D.
无数
5.
已知
12
a是正整数,则实数
a的最大值为(
)




6.
若m
2n1
1
2n2,则m=_______,n=
。
7.
要使
3
1
有意义,则x应满足________。
x
2x
1
8.
假如
49a的值是一个整数,且是大于
1的数,那么满足条件的最小的整数a=____。
x取什么实数时,以下各式有意义
(1)
34x;
(2)
3x
2;
(3)
(x3)2
;
(4)
3x
4
43x
、b、c
为实数,且
a3
b22
c
10,求a、b、c的值。

分析:二次根式满足两个条件:①根指数是
2;②被开方数为非负数,应选A。

分析:依据二次根式的意义,被开方数
a≥0;又依据分式有意义的条件,b≠0。
b
D分析:依据题意,得x-2>0,解得x>2,在数轴上表示为应选D。

分析:
(x5)2
0即(x5)2
0,所以x50,即x=5,有1个值,应选B。

分析:∵
12
a是正整数,∴12-a>0,a<12,当12a1时,a=11,即为最
大,应选B。
6.
m2n
1
0,1
2n0
1
分析:2n1
,所以n
2
2
7.
依据题意得:
3-x≥0且2x-1>0,解得:
1<x≤3。

,此时,m=-2。
2
8.
∵49a=7
a,又7
是质数,故要使
49a的值是一个整数,且
a也是整数,∴a
是一个完整平方数,∴a=1。
9.
(1)x
3
(2)x
2
(3)任意实数
4
4
3
(4)x
3
10.
a
3
b=-2
c=1
解:∵
a
3
0
,(b
2)
2
0,|c1|
0
a=3,b=-2,c=1