4对数正态分布ITU.doc

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4对数正态分布-ITU
4对数正态分布-ITU
ITU--2建议书
1
建议书
与无线电波流传建模相关的概率分布
(1994-2001-2007年)
范围
无线电流传建模要求大量使用统计方法。本建议书供应了关于最重要的概率分布的综合信息,以便为无线电通信研究组建议书中所使用的流传展望统计方法供应一种通用的背景。
国际电联无线电通信全会,
考虑到
无线电波的流传主要涉及随机媒介,因此有必要经过统计方法解析流传现象;
在大多数情况下,有可能经过已知的统计分布,对各种流传参数的时间与空间变化作出满意地描述;
因此至关重要的是认识统计流传研究中应用最为宽泛的概率分布基本属性,建议
附件1中供应的与流传建模相关的统计信息须用于无线电通信业务的规划和系统性能参数的展望。
应使用附件2中供应的分步程序,经过对数正态余补累积分布模拟余补累积分布。
附件1
与无线电波流传建模相关的概率分布
序言
经验表示,仅有接收信号平均值方面的资料不足以描述无线电通信系统的性能。时间、空间和频率的变化亦应试虑在内。
适用信号和搅乱的动向表现,在解析系统可靠性和选择调制种类等系统参数时,发挥着决定性作用。最为要点的是要认识信号颠簸的范围与速率,以便能够规定调制种类、发射功率、搅乱保护比、分集措施、编码方法等参数。
2ITU--2建议书
描述通信系统的性能,一般经过观察信号颠簸的时间序列并将信号颠簸视为随机过程即可。但为展望无线电系统的性能而为信号颠簸建模,则还要认识无线电波与大气(中性大气层和电离层)之间的互动体系。
大气组成和物理状态的时空变化特别快。因此,波互动建模,需大量使用统计方法来定义各种物理参数,描述大气及定义信号表现的电参数,以及建立参数间关系的互动流程。
下文供应了最重要的、相关归纳分布的一些整体信息。这些信息为无线电通信研究组建议书使用的各种流传展望统计方法,供应了共同的背景。
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2

概率分布
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随机流程一般使用概率密度函数或余补累积分布函数描述。概率密度函数,在此用
p(x)表示变量x,在无量区间x与xdx间,x的概率为p(x)dx。余补累积分布函数,用
示,它给出了变量值小于x时的概率,即两函数间的关系以下:

F(x)表
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p(x)

d

F(x)
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dx
或
x
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F(x)

p(t)dt
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c
式中c是t可取的最小值。
下述分布是最重要的:
–正态或高斯分布,
–对数正态分布,
–瑞利分布,
–对数正态和瑞利分布的组合,
–Nakagami-Rice分布(Nakagamin分布),
–伽玛分布和指数分布,
–Nakagamim分布,
–皮尔森2分布。
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3
高斯或正态分布
此分布适用于任何征候的连续变量。概率密度的种类为:
p(x)e–T(x)
(1)
T(x)为非负二阶多项式。若是使用平均值m和标准方差,则p(x)可写为一般形式:
p(x)
1
1
x
m2
(2)
exp
2
2
因此:
F(x)
1
x
exp
1t
m
2
dt
11
erf
xm
(3)
2
2
2
2
且:
2
z
–2
(4)
erf(z)
et
dt
0
余补累积正态分布F(x)平时在表中使用简短的形式,即
m为零且为单位元素。表1给
出了一系列x或F(x)取整值的x与F(x)间关系。
表1
x
1–F(x)
x
1–F(x)
0
10–1
1
10–2
2
10–3
3
–3
10–4
4
–5
10–5
5
–7
10–6
6
10–10
10–7
10–8
为了实质计算,F(x)可用模拟函数表示,比以下式对正数
x有效,且相对误差小于
10–3:
1
F(x)
exp(
x2/2)
(5)
2

x2
高斯分布主要出现在大量随机原因的累积效对付某一参量的数值产生影响的情况下,且这些随机原因中的每一个重要性均不高。
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4ITU--2建议书
在流传过程中涉及的大多数物理参量(功率、电压、衰减时间等)基本上都是正数参量,因此不能够直接使用高斯分布表示。另一方面,此分布在两类重要情况下使用:
–表示参量在其平均值周边颠簸(闪烁);
–表示某参量的对数。这样我们即可获取下文中研究的对数正态分布。
存在一个所谓高斯坐标的图示已经上市,即在此分类中的高斯分布用直线表示。基至关于非高斯分布的表达,也经常使用这些图示。
对数正态分布
此分布为对数存在高斯分布的正数变量分布。因此,可直接写出概率密度和余补累积密度:
p(x)
1
1exp
1
lnxm2
(6)
2
x
2
F(x)
1
x
1exp
1lnt
m2
dt
1
1
erflnxm
(7)
2
0
t
2
2
2
但是,在这些关系中,m和其实不是变量x的平均和标准方差,而是此变量对数的平均和
标准方差。可轻易地算出变量
x的特色参量。我们发现:
–
最或然值:
exp(m–2)
–
中值:
exp(m)
–
平均值:
expm
2
2
–
平方根值:
exp(m
2)
–
标准方差:
expm
2
exp(
2)
1
2
与高斯分布不相同,对数正态分布特别不对称。特别是平均值、中值和概率最大值(平时称为模)不相同(见表1)。
对数正态分布经常与流传相连,主若是针对与功率、场强电平或时间相关的参量。功率或场强电平平时仅用分贝表示,这样参照电平的正态分布便更为常有。对时间而言(比方衰减时长),由于自然变量为秒或分而不是其对数,因此可明确地使用对数正态分布。
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5
由于对数正态分布变量的倒数也呈对数正态分布,此分布有时会出现在各种降雨率(时间的倒数)中。比方,最少它可被用于表示中低降雨速率下的降雨率分布。
与高斯分布对照,能够为对数正态分布是指变量值,这些变量数值由众多做为个体来讲重要性不大,但会产生放大效应的原因组成。
瑞利分布
瑞利分布适用于非限制性正连续变量,与高斯分布的关系以下。呈零平均值的两独立变量y和z的二维高斯分布,且标准方差相同的情况下,随机变量
x
y2
z2
(8)
表现为瑞利分布,且x的最或然值为。基于x表示在二维高斯分布中心方向与此分布中的一点订交的矢量长度,因此能够判断,瑞利分布表示某矢量长度的分布,该矢量为大量低振幅且相位平均分布的矢量之和。
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6ITU--2建议书
概率密度和余补累积分布的公式为:
x
x2
(9)
p(x)
2exp
22
x2
F(x)1exp(10)22
图2表示函数p(x)和F(x)。
各种变量的特色值以下:
–
最或然值:
–
中值:
–
平均值:
2
–
平方根值:
2
–
标准方差:
2
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2
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注意,为与瑞利分布相连的高斯分布标准方差。
瑞利分布平时仅在源泉,即在x的较小值,周边使用。在这种情况下:
x
2
F(x)
(11)
2
2
此公式可理解为:随机变量X的值小于x的概率与该值的平方成正比。若是该变量为电压,则其平方表示信号的功率。换言之,以分贝为单位,每出现十种概率功率会下降
dB。此属性平时被用于查找接收电平可否最少呈渐近性的瑞利分布。但应注意到,其他分布可能会有相同的表现。
瑞利分布特别会在散射现象中出现。
对数正态分布和瑞利分布的组合
在某些情况下,随机变量的分布可视为两种分布,即长远变量对数正态分布和短期变量瑞利分布的组合。瞬市价的分布可经过考虑瑞利变量值来获取,其中变量平均值(平均平方值)自己为具备对数正态分布的随机值变量。
若是用m和来指定与对数正态分布相关的高斯分布的平均和标准方差,则可得出下述分布计算公式:
1
expx2e2u
u2
(12)
1F(x)
du
2
2
在此公式中,标准方差用奈培表示。若是的值用分贝表示则:
(13)
图3中的图表显示了一系列标准方差值的分布,其中m的值为零。
此分布主要出现非平均媒介流传中,此时后者的特色中拥有不能忽略的长远变量,比方:对流层散射的情况。
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7Nakagami-Rice分布(Nakagamin分布)(见注1)
注1–勿与Nakagamim分布混淆。
Nakagami-Rice分布亦源于高斯分布,是对瑞利分布的归纳。可将其看作是矢量长度
x
的分布,其中所述矢量为固定矢量之和且其长度呈瑞利分布。也许,在拥有两个独立变量
和y且使用相同标准方差
的二维高斯分布中,与此分布中心外一固定点分布订交的矢量长
度,将呈Nakagami-Rice分布。
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若是a用于指定固定矢量的长度,且为瑞利矢量的最或然长度,则概率密度公式
为:
p(x)
x
x2
a2
ax
exp
2
I0
(14)
2
2
2
式中I0为经校正的第一类零阶贝塞尔函数(Besselfunctions)。
此分布取决于两种参数,但为办理流传问题,有必要选择固定矢量振幅a与随机矢量平方根振幅2之间的关系。此关系取决于拟采用的应用种类。两类主要应用以下:
固定矢量的功率为常数,但固定和随机重量的总功率不相同
研究粗糙表面光反射的影响,或考虑固定重量外的多径重量时,平均功率的计算使用:(a222)。该分布平时使用K定义:
a
2
(15)
K10log
dB
2
2
即,固定矢量功率与随机重量之比。
固定和随机重量的总功率为常数,但两个重量会发生变化
为研究大气中的多径流传问题,能够为固定矢量功率之和及随机矢量的平均功率为
常数,由于随机矢量所载功率源来自固定矢量的功率。若是总功率为1,则:
a2
22
1
(16)
且随机矢量承载的那部分功率等于2
2。若是X用于指定合成矢量的瞬时振幅,且
x为此振幅
的数值,则瞬时电平大于x的概率使用下述公式计算:
Prob(Xx)1–F(x)
2exp
a2
exp
2I0
2ad
(17)
2
2
2
2
x/
图4所示为随机矢量承载的不相同功率值的分布情况。
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为方便实质应用,振幅使用分贝计量,概率的计量方式应使瑞利分布可用直线表
示。能够看出,当随机矢量功率值大于时,曲线凑近的限值呈瑞利分布。其原因在于,在这种情况下,固定矢量的振幅与随机矢量的振幅同阶,基本无法区分。别的,图中显示该部分内小值的振幅分布倾向于高斯分布。
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