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第五章特征值和特征向量

一. 填空题
1. 设 A 是 n 阶方阵, A* 为 A 的伴随矩阵, |A| = 5, 则方阵 B = AA* 的特征值是______, 特征
向量是______.
解. 因为 AA* = A* A =| A | E , 所以对于任意 n 维向量α有 AA*α=| A | Eα=| A |α. 所
以|A| = 5 是 B = AA* 的特征值, 任意 n 维向量α为对应的特征向量.
2. 三阶方阵 A 的特征值为 1, -1, 2, 则 B = 2A3 − 3A2 的特征值为_______.
解. B = 2A3 − 3A2 的特征值为:
2 ⋅13 − 3⋅12 = −1, 2 ⋅(−1)3 − 3⋅(−1)2 = −5, 2 ⋅ 23 − 3⋅ 22 = 4
−1 1 0−1 − 4 1
3. 设 A = − 4 3 0, B =  1 3 0且 A 的特征值为 2 和 1(二重), 那么 B 的特征值

 1 0 2 0 0 2
为_______.
解. A, AT 具有相同的特征值. B = AT , 所以 B 和 A 具有相同的特征值. B 的特征值为: 2 和
1(二重).
2 0 02 0 0 
4. 已知矩阵 A = 0 0 1与B = 0 y 0 相似, 则 x = _____, y = ______.

0 1 x0 0 −1
2 0 0 2 0 0
解. 因为 A, B 相似, 所以| A |= 0 0 1 = −2 =| B |= 0 y 0 = −2y, y = 1.
0 1 x 0 0 −1
相似矩阵的迹相等: tr(A) = 2 + x = tr(B) = 2 + y −1 = 2 . 于是 x = 0 .
5. 设 A, B 为 n 阶方阵, 且| A |≠ 0 , 则 AB 与 BA 相似, 这是因为存在可逆矩阵 P = ______,
使得 P −1 ABP = BA .
解. 因为| A |≠ 0 , 所以 A 可逆. 令 P = A , 则 P −1 ABP = A−1 ABA = BA . 即 AB 与 BA 相似.

二. 选择题
1. 零为矩阵 A 的特征值是 A 为不可逆的
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(A) 充分条件(B) 必要条件(C)充要条件(D) 非充分、非必要条件
解假设为的所有特征值则所以
. λ1,λ2 ,L,λn A , | A |= λ1λ2 Lλn . :
0为 A 的特征值⇔ A 可逆
(C)为答案.
2. 设λ1,λ2 是矩阵 A 的两个不同的特征值, ξ,η是 A 的分别属于λ1,λ2 的特征向量, 则
(A) 对任意 k1 ≠ 0, k2 ≠ 0 , k1ξ+ k2η都是 A 的特征向量.
(B) 存在常数 k1 ≠ 0, k2 ≠ 0 , k1ξ+ k2η是 A 的特征向量.
(C) 当 k1 ≠ 0, k2 ≠ 0 时, k1ξ+ k2η不可能是 A 的特征向量.
(D) 存在惟一的一组常数 k1 ≠ 0, k2 ≠ 0 , 使 k1ξ+ k2η是 A 的特征向量.
解. λ1 ≠λ2 为 A 的二个相异的特征值, 所以存在非零向量ξ,η, 满足
Aξ= λ1ξ, Aη= λ2η. 而且ξ,η线性无关.
假设存在λ满足: A(k1ξ+ k2η) = λ(k1ξ+ k2η)
所以λ1k1ξ+ λ2k2η= λk1ξ+ λk2η, 即(λ1k1 −λk1 )ξ+ (λ2k2 −λk2 )η= 0
因为ξ,η线性无关, 所以λ1k1 −λk1 = 0, λ= λ1 ; λ1k2 −λk2 = 0, λ= λ2 .
和λ1 ≠λ2 矛盾. 所以(C)为答案.
3. 设λ0 是 n 阶矩阵 A 的特征值, 且齐次线性方程组(λ0 E − A)x = 0 的基础解系为η1和η2 ,
则 A 的属于λ0 的全部特征向量是
(A) η1和η2 (B) η1或η2
(C) C1η1 + C2η2 (C1,C2 为任意常数) (D) C1η1 + C2η2 (C1,C2 为不全为零的任意常数)
解. 因为齐次线性方程组(λ0 E − A)x = 0 的基础解系为η1和η2 , 所以方程组
(λ0 E − A)x = 0 的全部解为 C1η1 + C2η2 ( C1,C2 为任意常数). 但特征向量不能为零, 则 A
的属于λ0 的全部特征向量是: C1η1 + C2η2 (