离散数学课后练习8.doc

第八章第九章
解:对于W1={0,3}来说,+6是W1上的代数运算。
对于W2={0,2,4}来说,+6是W2上的代数运算。
对于 W3={1,3,5}来说,+6不是W3上的代数运算。因为T +6 3=4不属于W3
2. 解:加法不是S={2^n∣n∈N}的二元代数运算。
因为 2+2^3=2(1+2^2)不属于S.
乘法是S={2^n∣n∈N}上的二元代数运算。
因为对任何2^n,2^m∈S, 有 2^m*2^n=2^(m+n)∈S
:因为对于任何的x,y,z∈N
(X*Y)*Z=(X^Y)*z=(x^y)^z=x^yz
X*(y*z)=x*y^z=x^yz
显然,一般情形有x^yz≠x^(y^z)
所以,运算“*”不满足结合律。又一般有x*y=x^y≠y^x=y*x
所以,“*”也不满足交换律。
4. 证明:对于任何x∈S,由于“*”满足结合律,所以有(x*x)*x=x*(x*x) 有条件知 x*x=x, 即“*”满足幂等率
5. 证明:对于任何x,y,z∈S, 由任何a,b∈S 有a+b=a
则x*(y+z)=x*y
而(x*y)+(x*z)=x*y
所以 x*(y+z)=(x*y)+(x*z)
另一方面(y+z)*x=y*x
所以*关于+满足分配率
6. 证明:若(G,0)为半群,则任何x,y,z∈G 有(xy)z=x(yz)
然而,对于任何的(a,b),(c,d),(e,f)∈G×G
((a,b)*(c,d))*(e,f)=(ac,bd)*(e,f)
=((ac)e,(bd)f)=(a(ce),b(df))=(a ,b)*((ce),(df))=(a,b)*((c,d)*(e,f))
所以(G×G,*)是半群。
若(G,0)有单位e时,则(e,e)必为(G×G,*)的单位元。
若(G,0)为群,有上述说明,只需证明:G×G 中所有元素均有逆元即可。
对于任意(a,b)∈ G×G 推出 a,b∈G 由(G,0)为群所以有1/a,1/b∈G 从而(1/a,1/b)∈G×G 且(a,b)*(1/a,1/b)=(a1/a,b1/b)=(e,e)
所以 1/(a,b)=(1/a,1/b)
即(G×G,*)V是群
7. 解:反例。令N表示正整数集合,则(N,+)是满足结合律且满足消去率的代数系统。但他不是群。因为2∈N,但它没有逆元。若(G,0)满足结合律且满足消去率,再加上G有限,则(G,0)为群。
只需证明:(G,0)满足可除条件。因为G有限,不妨设G={a1,a2……,an}
对于任意的a∈G,令G’={aa1,aa2,……,aan}
显然有G’属于G 且(G,0)满足消去律;所以,当i≠j时,有aai≠aaj 因此,G=G’
对于任意的b∈G=G’,必存在i使b=aai 即存在ai∈ G 使aai=b
同理可证:对于任意的a,b∈G存在c∈G 使 ca=b
即(G,0)满足可除条件。
8. 解:(G,0)是半群
因为G中的三个元素有单位元a,零元c;所以,任意x,y,z∈G,均有x(yz)=(xy)z (G,0)不是群。因为他有零元
9. 解:(1 2 3)(2 3 4)(1 4)(2 3)=:因为M的任意置换均可表示