1
如:
=
记
E(2,3).
一、初等方阵的概念
2
又如:
注意:
3
=
=
4
初等方阵有三类:
(1). 由单位矩阵E经过一次初等变换而得到 的方阵,称为初等方阵.(定义15)
(2). 初等方阵均为可逆阵, 其逆阵仍为初等方阵.
(3).
则 B 等于以相应的初等方阵 P 左乘 A ,
即 B = PA . 反之也成立.
(行左)
即 B = AP , 反之也成立.
(列右)
则 B 等于以相应的初等方阵 P 右乘 A ,
5
(4).
A B
B = PAQ
P 为m 阶可逆阵,
Q 为n 阶可逆阵.
^
6
定理五:对于一m×n矩阵A作一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的m阶初等方阵;对A作一次初等列变换相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等方阵.
定理六:两个m×n矩阵A,B等价的充要条件是:存在可逆的m阶方阵P与可逆的的n阶方阵Q使A=PBQ
证明:由定理五可知
A与B等价的充要条件为
则P,Q均可逆
且A=PBQ
7
定理七. 若矩阵 A 可逆
存在有限个
证明:
E.
(即 E A).
故E 可经有限次初等变换变成 A. 即
证毕.
8
推论: 可逆阵总可以经一系列行变换化成单位阵.
事实上,
由定理七有
证毕.
9
方法:
当|A|≠0 (即A可逆),
①
②
二、利用初等变换求逆矩阵
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综合①、②:
简记:
即
经初等行变换
例.
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