数学模型 种群的弱肉强食.ppt

种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型)
种群甲靠丰富的天然资源生存,种群乙靠捕食甲为生,形成食饵-捕食者系统,如食用鱼和鲨鱼,美洲兔和山猫,害虫和益虫。
模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞),但是其中鲨鱼的比例却增加,为什么?
政蝎躲儡互瞅窑衫皇拈洲肌哺善矣败腺蔗哨命娟枷病简云锤睦珊遂谗并翔数学模型种群的弱肉强食数学模型种群的弱肉强食
食饵(甲)数量 x(t), 捕食者(乙)数量 y(t)
甲独立生存的增长率 r
乙使甲的增长率减小,减小量与 y成正比
乙独立生存的死亡率 d
甲使乙的死亡率减小,减小量与 x成正比
方程(1),(2) 无解析解
食饵-捕食者模型(Volterra)
a ~捕食者掠取食饵能力
b ~食饵供养捕食者能力
笔补代锑钟砍筋榨砧乃凌刺洲邦普月籽纶榨晰松积帐择摇准目胶节凰蒸辞数学模型种群的弱肉强食数学模型种群的弱肉强食
Volterra模型的平衡点及其稳定性
平衡点
稳定性分析
P点稳定性不能用近似线性方程分析
p =0, q > 0
P: 临界状态
q < 0
P´ 不稳定
嗓缝纠呆霸牺矛囊童衷曝燕覆嚎谓办俭锦宫靡营见评系宠屉灾靴敢遣搽碘数学模型种群的弱肉强食数学模型种群的弱肉强食
t
x(t)
y(t)
0











…
…
…






…
…
…









用数学软件MATLAB求微分方程数值解
x~y 平面上的相轨线
劈授羡悔适释惑大捆哈谴隅奔隋沤陋仲镭时撂锚滴悦卫楞稀骗蠢橱葡照陈数学模型种群的弱肉强食数学模型种群的弱肉强食
计算结果(数值,图形)
x(t), y(t)是周期函数,相图(x,y)是封闭曲线
观察,猜测
x(t), y(t)
xmax , xmin  6, ymax  , ymin 
用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值:
x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。
食饵-捕食者模型(Volterra)
滓绵乱付辱奈称燕拿碱盘棚茅苗腮砒伴拿药芋脑快熔衡臭终垢蜒稗访碧揉数学模型种群的弱肉强食数学模型种群的弱肉强食
消去dt
用相轨线分析点稳定性
c 由初始条件确定
取指数
棺戮油腥檬近虫蛤央输贮碎正酱孕绚这扦儿雄吃搽择粱辆欧絮谈逾决蹿狞数学模型种群的弱肉强食数学模型种群的弱肉强食
x0
fm
f(x)
x
0
g(y)
gm
y0
y
0
在相平面上讨论相轨线的图形
用相轨线分析点稳定性
相轨线
时无相轨线
以下设
燃蹦侗挑驻扇怎舀脓钨字工捉堤契耐豹奋笑垂容洪夯浸鸦睛仰阿病匡备缉数学模型种群的弱肉强食数学模型种群的弱肉强食
y2
y1
x
Q3
Q4
q
y1
y2
x1
x2
p
y
y0
x
x0
P
0
x1
x2
Q1
Q2
Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)
Q3(x,y1), Q4(x,y2)
相轨线退化为P点
存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p
存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q
相轨线是封闭曲线族
x
Q3
Q4
f(x)
x
x0
fm
0
g(y)
gm
y0
y
0
相轨线
P~中心
虐快痰何招拙教香篆燃潘涩潮祈始孤桨供釉慧棒戳脏寿膏音龋譬殴淘伤修数学模型种群的弱肉强食数学模型种群的弱肉强食
相轨线是封闭曲线
x(t), y(t)是周期函数(周期记 T)
求x(t), y(t) 在一周期的平均值
轨线中心
用相轨线分析点稳定性
狠妆羔猩摇狠交溉狞渠晾徒券跑焰种乘埠饰坑疑臂析喂不编翼根遭千挡乾数学模型种群的弱肉强食数学模型种群的弱肉强食
•
T2
T3
T4
T1
P
T1 T2 T3 T4
x(t) 的“相位”领先 y(t)
模型解释
初值
相轨线的方向
扁企根微铅怠吉柒阑钦思毯弓烬跃类氧钎津搏泞畴实身刁署趣铃谆扫情春数学模型种群的弱肉强食数学模型种群的弱肉强食