数学模型 种群的弱肉强食.ppt

种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型)种群甲靠丰富的天然资源生存,种群乙靠捕食甲为生,形成食饵-捕食者系统,如食用鱼和鲨鱼,美洲兔和山猫,害虫和益虫。模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞),但是其中鲨鱼的比例却增加,为什么?食饵(甲)数量 x(t), 捕食者(乙)数量 y(t)甲独立生存的增长率 rrxx??乙使甲的增长率减小,减小量与 y成正比xayrtx)()(???乙独立生存的死亡率 ddyy???甲使乙的死亡率减小,减小量与 x成正比ybxdty)()(????方程(1),(2) 无解析解食饵-捕食者模型(Volterra)a ~捕食者掠取食饵能力b ~食饵供养捕食者能力)1(axyrx??)2(bxydy???Volterra模型的平衡点及其稳定性axyrxxayrtx????)()(?bxydyybxdty??????)()(?平衡点),/,/(arbdP稳定性分析???????????bxdbyaxaxrA?????????drAP00P点稳定性不能用近似线性方程分析 p =0, q > 0P: 临界状态 q < 0P′不稳定????????0//0abrbadAP)0,0(P?tx(t)y(t)……… ………~y 平面上的相轨线计算结果(数值,图形)x(t), y(t)是周期函数,相图(x,y)是封闭曲线xayrtx)()(???ybxdty)()(????观察,猜测x(t), y(t)? , xmin ? 6, ymax ? , ymin ? x(t), y(t)一周期的平均值:x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。食饵-捕食者模型(Volterra))()(bxdyayrxdydx????dyyayrdxxbxd????消去dt1lnlncayyrbxxd?????ybxdtyxayrtx)()()()(???????ceyexayrbxd???))((用相轨线分析点稳定性)/,/(arbdPc 由初始条件确定取指数x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0arygygggm/,)(,0)()0(00?????,0)()0(???ffcygxf?)()(ceyexayrbxd???))((在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析点稳定性)/,/(arbdP相轨线)(xf)(ygbdxfxfm/,)(00??mmgfc?时无相轨线以下设mmgfc?y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1), Q4(x,y2)mmgfc?00,yyxx??相轨线退化为P点mmgfc?0yy?令mfpxf??)(mpgc?设存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=pmgyg?)(],[21xxx?考察pxf?)(存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=qmpgygxf?)()(mgqyg??)(内任意点是],[21xxx相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0cygxf?)()(相轨线P~中心相轨线是封闭曲线x(t), y(t)是周期函数(周期记T)求x(t), y(t) 在一周期的平均值yx,ybxdty)()(????)(1)(dyybtx?????TdttxTx0)(1xayrtx)()(???arybdxyxP/,/:),(0000??轨线中心00,yyxx??bdx/?ary/?用相轨线分析点稳定性)/,/(arbdP???TdtdyybT0)(11?))0(ln)(ln(1bdTbyTyT???02040608010012005101520253000??yx??,00??yx??,00??yx??00??yx??0P?T2T3T4T1P024681012020406080100120x(t)y(t)T1T2T3T4x(t) 的“相位”领先 y(t)xayrtx)()(???ybxdty)()(??????)()(:1tytxT??)()(:2tytxT??)()(:3tytxT??)()(:4tytxT模型解释)/,/(arbdP),(000yxP??初值相轨线的方向