弱肉强食模型.doc

弱肉强食模型
1) 问题的提出
在自然界中,像生活在草原上的狼和羊,种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在。两个弱肉强食的种群,其发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢?
2)模型假设
以、表示处于弱肉强食关系中甲、乙二种群在时刻的数量,
1、 甲种群只以乙种群为食物资源,为两个折算因子,分别表示一个单位数量的甲物种维持其正常生存需占用的资源量、一个单位数量的乙物种为甲种群提供的资源量;甲种群数量的增长率与该种群数量成正比,同时也与有闲资源成正比。表示甲种群的固有增长率;
2、  乙种群可以独立存在,而可被其直接利用的自然资源有限,设总量为“”,表示一个单位数量的乙物种维持其正常生存需占用的资源量,表示乙种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量。乙种群数量的增长率可以分解为两部分考虑:其一,不考虑甲种群的影响,乙种群自由发展,其增长率与该种群数量成正比,同时也与有闲资源成正比,表示甲种群的固有增长率;其二,由于被甲种群捕食造成乙种群增长的负面影响,称这一部分为被捕杀率,它与甲乙两个种群的数量均正相关,这里简单地设为服从正比例关系,比例系数取为。
3)模型建立
根据模型假设,可得如下数学模型:
经化简,得:
4)模型求解
与前面两节一样,令模型方程的右端项:
,
解之,得该模型的三个平衡点:
、、。
类似于在种群竞争模型中的讨论,我们可以得到平衡点均不稳定;
下面我们讨论平衡点的稳定性,为此,将微分方程
的右端项以其在的一阶Taylor展式取代,构造线性动力系统:
此时系数矩阵
,
从而求得,
,
,
故平衡点是稳定的。此时,甲、乙两种群将共同存在下去,种群量一般将逐渐趋于平衡状态。
5)模型点评
本节与前面两节介绍了三个生态学模型,尽管所处理的对象均为多(二)种群系统,但其基本假设,比如对其中的每一个种群数量变化的影响,除了在“弱肉强食”模型中的被捕食者外,均只考虑了其自身数量与有闲资源两个要素,这和人口的阻滞增长模型的讨论是一致的。