弱肉强食模型.ppt

弱肉强食模型
1、背景
回顾
生活在同一环境中的各类生物之间,进行残酷的生存竞争,,而种群乙靠捕食种群甲为生,象:食用鱼与鲨鱼,美洲兔与山猫,,称乙为捕食者,二者共处的系统称为食饵—捕食者系统(Prey-Predator).下面我们来介绍P-.
意大利生物学家D’Ancona于20世纪20年代中期进行了鱼类各个种群间相互依存、,,他发现了各类软骨掠肉鱼(鲨鱼,鳐鱼,魟鱼等,这些鱼不是很理想的食用鱼)所占的百分比,如下:
年份
1914
15
16
17
18
19
20
21
22
23
%










D’Ancona无法解释这个现象:为什么降低捕鱼水平时,比起被捕食者,.
2. Volterra模型
为此, D’Ancona求助于同事----著名的意大利数学家沃特拉(Volterra),希望沃特拉能建立一个数学模型,:
他将鱼分成两类:食用鱼和掠肉鱼,分别用x(t)和y(t)表示;
他认为对食用鱼而言,食物很丰富,如果没有掠肉鱼的话,其数目服从指数增长规律;
其次,单位时间内掠肉鱼和食用鱼相遇的次数正比于xy,从而食用鱼减少的速度可设为为axy,而且掠肉鱼的自然减少率与它们存在的数目成正比.
于是没有渔业活动时的模型为
模型的求解:
求解相轨线,分离变量得到:
上式不能解出 y=f(x) 这种显式解.
下面我们来进行平衡解及相轨线分析,以进一步了解方程组(1)的解的性质.
模型的求解:
对此非线性微分方程组
容易看出,方程组(1)有两个平衡解: (0,0)和(c/b,r/a).我们讨论后一个平衡解的性质.
其次,我们可以求出两条特殊轨线:
也就是说,x轴和y轴的正半轴都是方程组(1),我们就可以得出结论:从第一象限出发的每一条轨线(即(2)式所描述的解),(2)式所描述的轨线族是封闭的.
为此,我们取
,我们只要研究一个即可.
因此,f(x)有唯一的驻点x=c/,在此点出f(x)达到最大值
其图形为:
x
f(x)
c/b
y
g(y)
r/a
我们对K讨论如下:
①:K>fmgm,这时方程(2)无解;
②: K=fmgm,这时方程(2)有唯一解x=c/b,y=r/;
③: 0<K<fmgm,这时方程(2)=pgm.
x
f(x)
c/b
令f(x)=p,得到两个解x1,x2,即相轨线过点(x1,r/a), (x2,r/a).
x
y
c/b
r/a
.
.
.
相平面
③: 0<K<fmgm,这时方程(2)=pgm.
x
f(x)
c/b
y
g(y)
r/a
令f(x)=p,得到两个解x1,x2,即相轨线过点(x1,p), (x2,p).对介于x1, x2之间的任何一个x,因f(x)>p,故方程(2)的解g(y)=q=K/f(x)<gm有两个:一个大于r/a,一个小于r/a.
分析x的不同所引起的y的变化.
这样我们就证明了当0<K<fmgm时的相轨线是一条封闭曲线.
•
K减少
P
•
•
•
•
•
P
从而,随着K的不同,我们得到一族封闭曲线,(1),为逆时针方向.