数学模型 种群的弱肉强食.ppt

种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型) ?种群甲靠丰富的天然资源生存,种群乙靠捕食甲为生,形成食饵-捕食者系统,如食用鱼和鲨鱼,美洲兔和山猫,害虫和益虫。?模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞), 但是其中鲨鱼的比例却增加,为什么? 食饵(甲)数量 x(t),捕食者(乙)数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r rx x??乙使甲的增长率减小, 减小量与 y成正比 xay rtx)()(???乙独立生存的死亡率 d dy y???甲使乙的死亡率减小, 减小量与 x成正比 y bx dty)()(????方程(1),(2) 无解析解食饵-捕食者模型( Volterra ) a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力)1( axy rx??)2( bxy dy??? Volterra 模型的平衡点及其稳定性 axy rxx ay rtx????)()( ? bxy dy y bx dty??????)()( ?平衡点),/,/(arbdP稳定性分析??????????? bx d by ax ax rA?????????d rA P0 0P点稳定性不能用近似线性方程分析 p =0, q > 0 P : 临界状态 q < 0 P′不稳定????????0/ /0a br b ad A P)0,0(P ? tx(t)y(t) ……… ……… 用数学软件 MATLAB 求微分方程数值解 x~y 平面上的相轨线计算结果(数值,图形) x(t ), y(t)是周期函数,相图(x,y )是封闭曲线 x ay rtx)()(???y bx dty)()(????观察,猜测 x(t ), y(t)的周期约为 x max ?, x min? 6, y max ? , y min? 用数值积分可算出 x(t ), y(t)一周期的平均值: x(t)的平均值约为 25, y(t)的平均值约为 10。食饵-捕食者模型( Volterra ) )( )(bx dy ay rxdy dx???? dy y ay r dx x bx d????消去 dt 1 ln lnc ay yr bx xd????? y bx dty x ay rtx)()( )()(???????ceyex ay r bx d???) )(( 用相轨线分析点稳定性)/,/(arbdP c 由初始条件确定取指数 x 0f mf(x)x0g(y)g my 0y0 arygyggg m/,)(,0)()0( 00?????,0)()0(???ff cygxf?)()( ceyex ay r bx d???) )((在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析点稳定性)/,/(arbdP相轨线)(xf)(ygbdxfxf m/,)( 00?? mmgfc?时无相轨线以下设 mmgfc? y 2y 1x Q 3Q 4qy 1y 2x 1x 2p yy 0x x 0P0x 1x 2Q 1Q 2Q 1(x 1,y 0 ),Q 2(x 2,y 0)Q 3(x,y 1 ), Q 4(x,y 2) mmgfc? 00,yyxx??相轨线退化为 P点 mmgfc? 0yy?令 mfpxf??)( m pg c?设存在 x 1<x 0<x 2, 使f(x 1 )=f(x 2 )=p mgyg?)( ],[ 21xxx?考察pxf?)(存在 y 1<y 0<y 2,使g(y 1 )=g(y 2 )=q m pg ygxf?)()( mgqyg??)( 内任意点是],[ 21xxx相轨线是封闭曲线族 x Q 3Q 4 f(x)x x 0f m0 g(y)g my 0y0 cygxf?)()(相轨线 P~ 中心相轨线是封闭曲线 x(t ), y(t)是周期函数(周期记 T) 求x(t ), y(t ) 在一周期的平均值 yx,y bx dty)()(????)( 1)(dy yb tx????? T dttxT x 0)( 1x ay rtx)()(???arybdxyxP/,/:),( 0 000??轨线中心 00,yyxx?? bdx/?ary/?用相轨线分析点稳定性)/,/(arbdP??? T dtdy ybT 0)( 11 ?