以数解形 小学“以数解形”.docx

以数解形 小学“以数解形”

　　江苏如皋东湖职业高级中学226563 　　摘要：数形结合是依据数学问题的条件和结论之间的内在联络，分析它的代数意义，揭示其几何意义，使数量关系和空间图形巧妙结合，将抽象问题直观化、直观问题准确化、繁琐问题简易化，从而处理问题. 本文经过部分案例将数形结合的解题思想利用到实际教学中，以此优化数学教学.
　　关键词：以形解数；以数解形；数形结合；思维方法
　　数和形是组成数学研究的基础对象，二者的结合是一个极富数学特点的信息转换，其思想方法就是依据数学问题的条件和结论之间的内在联络，既分析它的代数意义，又揭示它的几何意义，使数量关系和空间图形巧妙友好地结合起来，并充足利用这种结合，适当地改变问题或改变提问的角度，往往能够起到化抽象为直观，化直观为准确，化繁琐为简易的作用，从而使问题得以处理．
　　我们在问题处理时总是用数的抽象性质来说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实. 不过，大家通常看重的是“以形解数”，往往忽略“以数解形”. 本文试图经过部分例题的分析和探索，说明“以数解形”的主要性，方便在教学中更加好地利用数形结合的思想方法，优化学生的思维品质和数学素养.
　　例1在图1中，已知OA，OB是⊙O的两条半径，BE⊥OA于E，EP⊥AB于P，连结OP，求证：OP2+EP2=OA2.
　　[O][E][B][O][P][A][O][E][A][B][P][H]
　　图1 图2
　　分析解题的首要条件是了解题意，该题借用圆让人感觉难以下手，其本质就是在等腰△ABC内来研究问题. 在审题的时候，我们往往依据题意寻求结论. 比如等腰三角形的性质，直角三角形中的射影定理和相关变形. 由等腰三角形结合图2来了解，我们不难想到三线合一的性质，从而作AB边上的高OH，这时H也是AB的中点. 这么便有等式：
　　EP2=AP・PB
　　OH2+AH2=OA2
　　OH2+PH2=OP2
　　这时我们对后两式作差，即用-可消去OH2，则有AH2－PH2=OA2－OP2，把要证实的结论OP2+EP2=OA2进行变形得EP2=OA2－OP2，又由可知，只要证实AH2－PH2=AP・PB. 这时有两种思绪：
　　①假设AB=2a，左边=a2－PH2，右边=，显然左边=右边；②应用平方差公式左边＝＝AP・＝AP・PB.
　　教学中我们应给学生学习的方法，要让学生抓住问题的本质. 在数学教课时，可依据“形”到“数”的转化让学生自己学会转化思想的方法，这么不但能够发展学生的思维能力，而且还能经过数形结合达成锻炼学生探索能力的目标. 由此我们能够看出，以“形”助“数”，直观、巧妙；用“数”攻“形”，简练、明了.
　　例2图3，已知射线PA，PB，PC不在同一平面内，且PA=PB=PC，∠BPC=90°，∠APB=∠APC=60°.
　　求证：平面ABC⊥平面PBC.
　　[P][P][A][B][C][A][B][C][H][a][a][a][a]
　　图3 图4
　　分析要证平面ABC⊥平面PBC，依据面面垂直的判定定理，不难想到取BC的中点H，连接AH，PH. 结合图4，只须证AH⊥平面PBC，即证AH⊥BC，AH⊥PH. 据题意可得AB=AC，则AH⊥BC. 下面只须证AH⊥PH