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“以数解形”
江苏如皋东湖职业高级中学226563

摘要:数形结合是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,分析它的代数意义,揭示其几何意义,使数量关系与空间图形巧妙结合,将抽象问题直观化、直观问题精确化、繁琐问题简易化,从而解决问题. 本文通过一些案例将数形结合的解题思想运用到实际教学中,以此优化数学教学.
关键词:以形解数;以数解形;数形结合;思维方法

数和形是构成数学研究的基本对象,两者的结合是一种极富数学特点的信息转换,其思想方法就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析它的代数意义,又揭示它的几何意义,使数量关系和空间图形巧妙和谐地结合起来,并充分利用这种结合,恰当地改变问题或改变提问的角度,往往能够起到化抽象为直观,化直观为精确,化繁琐为简易的作用,从而使问题得以解决.
我们在问题解决时总是用数的抽象性质来说明形的事实,同时又用图形的性质来说明数的事实. 但是,人们通常看重的是“以形解数”,往往忽略“以数解形”
. 本文试图通过一些例题的分析与探索,说明“以数解形”的重要性,以便在教学中更好地运用数形结合的思想方法,优化学生的思维品质和数学素养.
例1在图1中,已知OA,OB是⊙O的两条半径,BE⊥OA于E,EP⊥AB于P,连结OP,求证:OP2+EP2=OA2.
[O][E][B][O][P][A][O][E][A][B][P][H]
图1 图2
分析解题的首要条件是理解题意,该题借用圆让人感觉难以下手,其本质就是在等腰△ABC内来研究问题. 在审题的时候,我们往往根据题意寻找结论. 比如等腰三角形的性质,直角三角形中的射影定理以及相关变形. 由等腰三角形结合图2来理解,我们不难想到三线合一的性质,从而作AB边上的高OH,这时H也是AB的中点. 这样便有等式:
EP2=AP?PB(1)
OH2+AH2=OA2(2)
OH2+PH2=OP2 (3)
这时我们对后两式作差,即用(2)-(3)可消去OH2,则有AH2-PH2=OA2-OP2,把要证明的结论OP2+EP2=OA2进行变形得EP2=OA2-OP2,又由(1)可知,只要证明AH2-PH2=AP?PB. 这时有两种思路:
①假设AB=2a,左边=a2-PH2,右边=(a-PH)(a+PH),显然左边=右边;②应用平方差公式左边=(AH-PH)(AH+PH)=AP?(BH+PH)=AP?PB(因为H是AB的中点,所以AH=BH).
教学中我们应给予学生学习的方法,要让学生抓住问题的本质. 在数学教学时,可根据“形”到“数”的转化让学生自己学会转化思想的方法,这样不仅可以发展学生的思维能力,而且还能通过数形结合达到锻炼学生探索能力的目的. 由此我们可以看出,以“形”助“数”,直观、巧妙;用“数”攻“形”,简洁、明了.
例2如图3,已知射线PA,PB,PC不在同一平面内,且PA=PB=PC,∠BPC=90°,∠APB=∠APC=60°.
求证:平面ABC⊥平面PBC.
[P][P][A][B][C][A][B][C][H][a][a][a][a]
图3 图4
分析要证平面ABC⊥平面PBC,依据面面垂直的判定定理,不难想到取BC的中点H,连接AH,PH.