有两个约束条件的条件极值.ppt

四川大学数学学院徐小湛 30 March 2012 Santa II, 有两个约束条件的条件极值推导三元函数在两个约束条件下取得极值的必要条件四川大学数学学院徐小湛 30 March 2012 Santa II, ( , , ) u f x y z ?目标函数( , , ) 0 x y z ??( , , ) 0 x y z ??约束条件设函数 u=f(x,y,z ) 在点(x, y, z ) 处取得满足两个约束条件的极值。由隐函数知识,两个约束条件的方程可以确定两个一元函数 y=y(x ) 和z=z(x)。将这两个一元函数代入目标函数,则一元函数 u=f(x,y(x ),z(x ))= u(x ) 在点 x=x 处取得极值。由极值的必要条件, 0 (1) x y z du dy dz f f f dx dx dx ? ? ??四川大学数学学院徐小湛 30 March 2012 Santa II, 另一方面,将两个一元函数 y=y(x ) 和z=z(x ) 代入两个约束条件方程,得两个恒等式: ( , ( ), ( )) 0 x y x z x ??( , ( ), ( )) 0 x y x z x ??以上二式两端对 x 求导,得 0 (2) x y z dy dz dx dx ? ? ?? ?? 0 (3) x y z dy dz dx dx ? ??? ??四川大学数学学院徐小湛 30 March 2012 Santa II, 由(1), (2), (3) 式知道,以下三个梯度{1, , } dy dz dx dx { , , } x y z f f f f ? ?{ , , } x y z ? ???? ?{ , , } x y z ? ???? ?在点(x, y,