抽象函数对称性奇偶性周期性总结习题.docx

抽象函数对称性奇偶性周期性总结习题.docx抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题
.概念 : 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像 ,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数 ,如函数的定义域 ,解析递推式 ,特定点的函数值 , 特定的运算性质等 ,它是高中函数部分的难点 ,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点 ,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体 ,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想
象力以及函数知识灵活运用的能力
1、周期函数的定义：
对于

f (x)

定义域内的每一个

x ，都存在非零常数

T ，使得

f (x

T )

f (x) 恒成立，
则称函数

f ( x)

具有周期性，

T 叫做

f ( x)

的一个周期， 则 kT（ k

Z, k

0 ）也是

f ( x)
的周期，所有周期中的最小正数叫

f (x)

的最小正周期。
分段函数的周期：

设 y

f ( x) 是周期函数，在任意一个周期内的图像为

C: y

f ( x),
x a,b ,T

b a。 把 y

f ( x)沿 x轴平移

KT

K (b

a)

个单位即按向量
(kT ,0)平移，即得 y f ( x) 在其他周期的图像：
y f (x
kT ), x
kT a, kT
b 。
f (x)
f ( x)
x
a,b
f ( x
kT )
x
kT
a,kT
b
2、奇偶函数：
设 y f ( x), x
a,b 或 x
b, a
a, b
①若 f (
x)
f ( x), 则称 y
f ( x)为奇函数；
②若 f (
x)
f (x)则称 y
f (x)为偶函数 。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性：
（ 1）中心对称即点对称：
①点 A(x, y)与 B(2a x,2b
② 点 A(a x,b y)与 B( a
③ 函数 y f ( x)与 2b y
④ 函数 b y f (a x)与 b
⑤ 函数 F（ x, y) 0与 F (2a

y)关于点 (a, b)对称；
x, b y)关于 (a,b)对称；
f (2a x)关于点 (a,b)成中心对称；
y f (a x)关于点 ( a,b)成中心对称；
x,2b y) 0关于点 ( a,b)成中心对称。
（ 2）轴对称：对称轴方程为： Ax By C 0 。
① 点 A( x, y)与 B( x/ , y / ) B( x
2A( Ax By C )
, y
2B( Ax By C ) ) 关 于直
A2
B 2
A2
B 2
线 Ax By C 0成轴对称；
②函数 y
f ( x)与y
2B( Ax
By
C)
f (x
2 A( Ax
By C ))
关于直线
A2
B2
A2
B 2
Ax
By
C
0 成轴对称。
③
2A( Ax
By
C)
2B( Ax
By
C)
) 0
F (x, y)
0
与
F (x
A2
B2
, y
A2
B 2
关于直线
Ax
By
C
0 成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数 y f ( x) 图象本身的对称性（自身对称）
若 f (x a) f ( x b) ，则 f ( x) 具有周期性；若 f ( a x) f (b x) ，则 f ( x)
具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性 ”。
1、 f ( a
x)
f (b
x