外接球问题典型例题.doc

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在三棱柱中，已知,，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【知识点】线面垂直的性质;球内接多面体;球体积的公式.
【答案解析】A解析 ：解：直三棱的各顶点都在同一球面上，（如图），
∵中，，∴下底面的外心为的中点，
同理，可得上底面的外心为的中点，
连接，则与侧棱平行，所以⊥平面
再取中点，可得：点到的距离相等，
∴点是三棱柱外接球的球心
∵中，，，
∴，即外接球半径，
因此，三棱柱外接球的球的体积为：．
故选：A．
【思路点拨】根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段的中点．在直角中，利用勾股定理算出的长，即得外接球半径的大小，再用球的体积公式即可算出所求外接球的体积．
四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积（ ）
A．25p B．45p C．50p D．100p
【知识点】几何体的外接球的表面积的求法;割补法的应用.
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【答案解析】C解析 ：解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以,,为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．
【思路点拨】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．
已知正四面体的棱长为，则它的外接球的表面积的值为　　　　．
【知识点】球内接多面体．
【答案解析】解析 ：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，
正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：，
∴棱长为的正四面体的外接球半径为．
所以外接球的表面积为，故答案为.
【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积．
已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。
【答案】
【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱
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平面四边形中，,,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
根据题意，如图，可知中，，在中，,又因为平面平面，所以球心就是的中