余弦定理教学教案.doc

余弦定理教学教案.doc质=崩=3_圳知5） =a • a + b • b — 2a • b =|彳+杆-2京
C a
——A B
从而
c2 =♦ -2—bcosC
（图 1. 1-5）
同理可证
a2 = Z?2 + c2 -2bc cos A
b2 =/ + / -2accosB
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与
它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2=b2+c2-2bccosA
b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 =a2 + Z?2 -2abcosC
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个
量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，
又可得到以下推论：
4 b2-^-c2-a2 COSA= 2 阮
D a2-^-c2-b2 cos 6=
2ac
「 b2+a2-c2 COSC= 2ba
［理解定理］
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出 了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
1. 1. 2余弦定理
•教学目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运 用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运
用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
•教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
•教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
•教学过程
1、 复习：已知A=30°,C=45°,b=16解三角形。（可以让学生板练）
2、 若将条件C=45°改成c=8如何解三角形？
师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：
已知△ ABC, BC=a,AC=b,和角 C,求解 c,B,A
引出课题：余弦定理

［探索研究］
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
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A 如图 1. 1一5,设 CB — a , CA = b , AB = c ,那么 c = a—力，贝!J b
由cosB = -— <0可知B为钝角，所以AABC为钝角三角形。 28
例3、在AABC中，已知力=3,。= 3占,3 = 30°,解此三角形。
解：
法一：由正弦定理= 即|_ =里11,解得sinC = —,
sinB sinC £ sinC 2
2
因为c>b,所以C = 60°或120。，
当C = 60°时，A = 90°, AABC为直角三角形，此时a = ^b2+c2 = 6 ；
当 C = 120° 时，A = 30°, A = B,所以 a = b = 3。
法二： 由余弦定理 b2 = a1 + c2 -2accosB ,