三线摆.doc

转动惯量和切变模量的测量 DH4601A 三线摆和扭摆实验仪转动惯量和切变模量的测量转动惯量是刚体转动惯性的量度,它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于形状简单的均匀刚体,测出其外形尺寸和质量,就可以计算其转动惯量。对于形状复杂、质量分布不均匀的刚体,通常利用转动实验来测定其转动惯量。三线摆法和扭转摆法是其中的两种办法。为了便于与理论计算值比较,实验中的被测刚体均采用形状规则的刚体。[实验目的] ; ; [实验装置和原理简介] 一、三线摆图1是三线摆示意图。上、下圆盘均处于水平,悬挂在横梁上。横梁由立柱和底座(图中未画出)支承着。三根对称分布的等长悬线将两圆盘相连。拨动转动杆就可以使上圆盘小幅度转动, 从而带动下圆盘绕中心轴 OO '作扭摆运动。当下圆盘的摆角θ很小,并且忽略空气摩擦阻力和悬线扭力的影响时, 根据能量守恒定律或者刚体转动定律都可以推出下圆盘绕中心轴 OO '的转动惯量 0J 为( 1) 式中, m 0为下圆盘的质量; r和 R分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离; H 0为平衡时上下圆盘间的垂直距离;T 0为下圆盘的摆动周期,g为重力加速度。北京地区的重力加速度为 -2。将质量为 m的待测刚体放在下圆盘上,并使它的质心位于中心轴 OO '上。图1 三线摆示意图 200 2 00TH4 gRr mJ??测出此时的摆动周期 T和上下圆盘间的垂直距离 H,则待测刚体和下圆盘对中心轴的总转动惯量 J 1为22 01TH4 gRr )mm(J???(2) 待测刚体对中心轴的转动惯量 J与 J 0和 J 1的关系为 J=J 1-J 0(3) 利用三线摆可以验证平行轴定理。平行轴定理指出:如果一刚体对通过质心的某一转轴的转动惯量为 J c ,则这刚体对平行于该轴、且相距为 d 的另一转轴的转动惯量 J x为J x =J c +md 2( 4) 式中, m为刚体的质量。实验时,将二个同样大小的圆柱体放置在对称分布于半径为 R 1的圆周上的二个孔上,如图 2所示。测出二个圆柱体对中心轴 OO '的转动惯量 J x。如果测得的 J x值与由( 4)式右边计算得的结果比较时的相对误差在测量误差允许的范围内( ≤5% ), 则平行轴定理得到验证。二、扭摆将一金属丝上端固定,下端悬挂一刚体就构成扭摆。图 3表示扭摆的悬挂物为圆盘。在圆盘上施加一外力矩,使之扭转一角度θ。由于悬线上端是固定的,悬线因扭转而产生弹性恢复力矩。外力矩撤去后,在弹性恢复力矩 M作用下圆盘作往复扭动。忽略空气阻尼力矩的作用,根据刚体转动定理有( 5) 式中, 0J 为刚体对悬线轴的转动惯量,???为角加速度。弹性恢复力矩 M转角θ的关系为???KM (6) 式中, K 称为扭转模量。它与悬线长度 L ,悬线直径 d 及悬线材料的切变模量 G有如下关系( 7) 扭摆的运动微分方程为( 8) 可见,圆盘作简谐振动。其周期 0T 为图1 二孔对称分布???? 0JML 32 Gd K 4?????? 0J K??K J2T 00??(9) 若悬线的扭摆模量 K已知,则测出圆盘的摆动周期 T 0后,由(9)式就可计算出圆盘的转动惯量。若 K未知,可利用一个对其质心轴的转动