外接球内切球的9大题型.doc

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外接球内切球的9大类题型梳理
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出《品数学》
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∴，∴高SD=2OO1=，
∵△ABC是边长为1的正三角形，高中数学资料共享群（群号：734924357）
∴S△ABC=，∴．
四．球与其它几何体的综合
如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设球的半径为cm，根据已知条件知
正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm
所以由，得
所以球的体积为
选A
四面体中，已知，且两两相互垂直，在该四面体表面上与点距离为的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是( )
A． B． C． D．
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【解析】在四面体表面上与点距离为的点形成一条曲线
曲线分别与交于
，，同理，
，，
.
选B.
五．球定义的灵活应用
如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面，，分别为棱，上一点，已知，，，且平面，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
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A． B． C． D．
【解析】在棱CD上取一点H,使得HD=1
平面BCE
又平面BCE，平面平面BCE ，
又平面平面ABCD=GH，平面平面ABCD=BC,
= HD=1,
故四面体可以补成一个长方体，且长，宽，高分别为4，1，1
所以球的表面积为选C
如图所示，在三棱锥中，，，，点在平面内的投影恰好落在上，且，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
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A． B． C． D．
【解析】由已知可知平面，平面平面，
又因为，平面，可构造直三棱柱，
直三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，
且球心为直三棱柱上下底面三角形外接圆圆心连线的中点.
在中，由正弦定理可求得外接圆半径为，
外接球半径为，
三棱锥外接球的表面积为，选D.
六．多面体放球中的解题策略
已知二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，且∠PAB＝∠ABC＝90°，AB＝AP，AB+BC＝6．若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（ ）
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A．45π B． C． D．
【解析】设AB＝x，（0＜x＜6），则，
由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，
且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，
OB为三棱锥外接球半径，取AB的中点为G，如图，
由条件知
在△EGH中，由余弦定理得
∴△EGH的外接圆直径，
当时，OB2的最小值为，
∴该球的表面积的最小值为.
选B．
等腰三角形的腰，，将它沿高翻折，使二面角成，此时四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
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【解析】由题意，设所在的小圆为，半径为，
又因为二面角为，
即，
所以为边长为的等边三角形，
又正弦定理可得，，
即，
设球的半径为，且，
在直角中，，
所以，
所以球的体积为，
选D．
在三棱锥中，，，，二面角的余弦值是，若都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
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【解析】取的中点，连接.
因为，所以，
可得即为二面角的平面角，故.
在直角中，，同理可得，
由余弦定理得
解得.
在中，，
所以为直角三角形，
同理可得为直角三角形，取中点，
则，在与中，，，
所以点为该球的球心，半径为，所以球的表面积为.
选C
已知三棱锥中，，，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图，
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取的中点，连接，，则，
又平